O vértice de uma parábola coincide com o centro da hipérbole , e sua diretriz coincide com o eixo focal da elipse E: (x-1)^24+(y+2)^2=1. Determine a equação da parábola.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma parábola cujo vértice está no centro de uma hipérbole . Além disso, a diretriz dessa parábola coincide com o eixo focal de uma elipse . Nosso objetivo é encontrar a equação dessa parábola.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar o centro da hipérbole 2x^2 - 7y^2 - 4x + 14y - 19 = 0 , que será o vértice da nossa parábola. Para isso, vamos colocar a equação de 2x^2 - 4x - 7y^2 + 14y = 19 na forma padrão, completando os quadrados.
Como , o eixo principal da elipse é o eixo . Ou seja, o eixo focal é horizontal.
Passo 4
A diretriz da parábola coincide com o eixo focal da elipse, que é o eixo . Isso significa que a diretriz será uma reta horizontal.
Sabemos que a parábola terá seu vértice em e sua diretriz será uma linha horizontal. Portanto, a parábola estará voltada para cima ou para baixo.
Passo 5
Para determinar a direção da parábola (se abre para cima ou para baixo), precisamos saber a posição da diretriz em relação ao vértice.
Como a diretriz é uma reta horizontal e a parábola tem seu vértice em , a parábola abrirá para cima se a diretriz estiver abaixo do vértice, ou para baixo se estiver acima.
Vamos supor que a diretriz seja a linha focal da elipse, que está no centro . Então, a diretriz da parábola será .
Como o vértice está em e a diretriz está abaixo, a parábola abre para cima.
Passo 6
A equação geral de uma parábola que abre para cima é:
(x - h)^2 = 4p(y - k)
onde p = 1 - (-2) = 3 é o vértice e é a distância do vértice à diretriz.
Sabemos que:
Vértice
Diretriz
A distância é a distância vertical entre o vértice e a diretriz: