O vértice de uma parábola coincide com o centro da hipérbole H: 2 x^2-7 y^2- 4 x+14 y-19=0, e sua diretriz coincide com o eixo focal da elipse E: (x-1)^24+(y+2)^2=1. Determine a equação da parábola.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma parábola cujo vértice está no centro de uma hipérbole . Além disso, a diretriz dessa parábola coincide com o eixo focal de uma elipse . Nosso objetivo é encontrar a equação dessa parábola.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o centro da hipérbole 2x^2 - 7y^2 - 4x + 14y - 19 = 0 , que será o vértice da nossa parábola. Para isso, vamos colocar a equação de 2x^2 - 4x - 7y^2 + 14y = 19 na forma padrão, completando os quadrados.
A equação de 2(x^2 - 2x) = 2(x^2 - 2x + 1 - 1) = 2((x - 1)^2 - 1) = 2(x - 1)^2 - 2 é:
-7(y^2 - 2y) = -7(y^2 - 2y + 1 - 1) = -7((y - 1)^2 - 1) = -7(y - 1)^2 + 7
Vamos rearranjar os termos:
2(x - 1)^2 - 2 - 7(y - 1)^2 + 7 = 19
Agora, completamos o quadrado para 2(x - 1)^2 - 7(y - 1)^2 + 5 = 19 e 2(x - 1)^2 - 7(y - 1)^2 = 14 :
Para (x - 1)^27 - (y - 1)^22 = 1 :
Para :
Substituindo de volta:
Agora, está claro que o centro da hipérbole é o ponto .

Passo 3

Agora, vamos analisar a elipse (x - h)^2a^2 + (y - k)^2b^2 = 1 .
A forma padrão da equação de uma elipse é:
Comparando com a nossa elipse, vemos que:
  • Centro em
  • então
  • então
Como , o eixo principal da elipse é o eixo . Ou seja, o eixo focal é horizontal.

Passo 4

A diretriz da parábola coincide com o eixo focal da elipse, que é o eixo . Isso significa que a diretriz será uma reta horizontal.
Sabemos que a parábola terá seu vértice em e sua diretriz será uma linha horizontal. Portanto, a parábola estará voltada para cima ou para baixo.

Passo 5

Para determinar a direção da parábola (se abre para cima ou para baixo), precisamos saber a posição da diretriz em relação ao vértice.
Como a diretriz é uma reta horizontal e a parábola tem seu vértice em , a parábola abrirá para cima se a diretriz estiver abaixo do vértice, ou para baixo se estiver acima.
Vamos supor que a diretriz seja a linha focal da elipse, que está no centro . Então, a diretriz da parábola será .
Como o vértice está em e a diretriz está abaixo, a parábola abre para cima.

Passo 6

A equação geral de uma parábola que abre para cima é:
(x - h)^2 = 4p(y - k)
onde p = 1 - (-2) = 3 é o vértice e é a distância do vértice à diretriz.
Sabemos que:
  • Vértice
  • Diretriz
A distância é a distância vertical entre o vértice e a diretriz:
Como a parábola abre para cima, é positivo.

Passo 7

Substituindo os valores na equação da parábola:
(x - 1)^2 = 4 times 3 times (y - 1)
(x - 1)^2 = 12(y - 1)

Resposta

A equação da parábola é:
(x - 1)^2 = 12(y - 1)

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