Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a distância entre duas retas no espaço tridimensional. Para isso, vamos precisar usar vetores e alguns conceitos de geometria espacial, como produto vetorial. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos entender como são definidas essas retas.
A reta é dada por:
Isso significa que qualquer ponto na reta tem a coordenada e igual a . Podemos parametrizar essa reta usando um parâmetro :
Então, o vetor diretor da reta é .
Passo 3
Agora, vamos analisar a reta y = 3 z = 2x :
x = t y = 3 z = 2t
Aqui, qualquer ponto na reta 1 0 2 tem e é o dobro de . Vamos parametrizar usando um parâmetro :
Então, o vetor diretor da reta é .
Passo 4
Para encontrar a distância entre essas duas retas, vamos usar a fórmula que envolve o produto vetorial. A fórmula para a distância D = |(B - A) cdot (dr times ds)||dr times ds| entre duas retas e no espaço é:
Aqui, é um ponto na reta , é um ponto na reta , e são os vetores diretores das retas, e representa o produto vetorial.
Passo 5
Vamos escolher pontos específicos nas retas para facilitar os cálculos.
Para a reta A = (0, 0, 0) , quando B = (0, 3, 0) :
B - A = 0 - 0 3 - 0 0 - 0 = 0 3 0
Para a reta , quando :
Agora, calculamos o vetor :
Passo 6
Em seguida, calculamos o produto vetorial dr times ds = i & j & k 0 & 1 & 1 1 & 0 & 2 = i(1 cdot 2 - 1 cdot 0) - j(0 cdot 2 - 1 cdot 1) + k(0 cdot 0 - 1 cdot 1) :