Calcular a distância entre as retas r:lx=0 y=z e s:cy=3 z=2 x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a distância entre duas retas no espaço tridimensional. Para isso, vamos precisar usar vetores e alguns conceitos de geometria espacial, como produto vetorial. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos entender como são definidas essas retas.
A reta x = 0 y = z é dada por:
x = 0 y = t z = t
Isso significa que qualquer ponto na reta 0 1 1 tem a coordenada e igual a . Podemos parametrizar essa reta usando um parâmetro :
Então, o vetor diretor da reta é .

Passo 3

Agora, vamos analisar a reta y = 3 z = 2x :
x = t y = 3 z = 2t
Aqui, qualquer ponto na reta 1 0 2 tem e é o dobro de . Vamos parametrizar usando um parâmetro :
Então, o vetor diretor da reta é .

Passo 4

Para encontrar a distância entre essas duas retas, vamos usar a fórmula que envolve o produto vetorial. A fórmula para a distância D = |(B - A) cdot (dr times ds)||dr times ds| entre duas retas e no espaço é:
Aqui, é um ponto na reta , é um ponto na reta , e são os vetores diretores das retas, e representa o produto vetorial.

Passo 5

Vamos escolher pontos específicos nas retas para facilitar os cálculos.
Para a reta A = (0, 0, 0) , quando B = (0, 3, 0) :
B - A = 0 - 0 3 - 0 0 - 0 = 0 3 0
Para a reta , quando :
Agora, calculamos o vetor :

Passo 6

Em seguida, calculamos o produto vetorial dr times ds = i & j & k 0 & 1 & 1 1 & 0 & 2 = i(1 cdot 2 - 1 cdot 0) - j(0 cdot 2 - 1 cdot 1) + k(0 cdot 0 - 1 cdot 1) :
= 2i + j - k = 2 1 -1

Passo 7

Agora, calculamos o produto escalar (B - A) cdot (dr times ds) = 0 3 0 cdot 2 1 -1 = (0 cdot 2) + (3 cdot 1) + (0 cdot -1) = 3 :
|(B - A) cdot (dr times ds)| = |3| = 3
Tomamos o valor absoluto:

Passo 8

Calculamos agora o módulo do produto vetorial |dr times ds| = raiz2^2 + 1^2 + (-1)^2 = raiz4 + 1 + 1 = raiz6 :

Passo 9

Finalmente, aplicamos a fórmula da distância:
D = 3raiz6 = 3raiz66 = raiz62 approx 1,225

Resposta

A distância entre as retas e é unidades, aproximadamente unidades.

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