Sendo ABCDEF um hexágono regular, como no exercício anterior. Expresse os seguintes vetores em função dos vetores

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um hexágono regular chamado ABCDEF. A gente precisa expressar a soma dos vetores em função dos vetores e . Para isso, vamos usar conceitos de vetores e propriedades de hexágonos regulares.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que em um hexágono regular, todos os lados são iguais e os ângulos internos são iguais. Além disso, se O é o centro do hexágono, então os vetores são os vetores posição dos vértices em relação ao centro.

Passo 3

Vamos expressar cada um dos vetores da soma em termos dos vetores posição:

Passo 4

Agora, vamos somar todos esses vetores:

Passo 5

Observando a soma, veremos que muitos termos se cancelam:

Passo 6

Então, a soma dos vetores fica:

Passo 7

Agora, precisamos expressar em termos de e . Sabendo que em um hexágono regular, os vetores posição dos vértices estão a 60° de distância uns dos outros, podemos relacionar e com e .

Passo 8

Considerando as simetrias do hexágono, podemos expressar:
Mas para simplificar, vamos considerar que:
No entanto, para expressar em termos de e , precisamos usar relações angulares.

Passo 9

Finalmente, após as relações e simplificações, a soma dos vetores pode ser expressa como:

Resposta

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