Sendo ABCDEF um hexágono regular, como no exercício anterior. Expresse os seguintes vetores em função dos vetores A B+B C+C D+D E+E F
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um hexágono regular chamado ABCDEF. A gente precisa expressar a soma dos vetores AB + BC + CD + DE + EF em função dos vetores OD e OE. Para isso, vamos usar conceitos de vetores e propriedades de hexágonos regulares.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar que em um hexágono regular, todos os lados são iguais e os ângulos internos são iguais. Além disso, se O é o centro do hexágono, então os vetores OA, OB, OC, OD, OE, OF são os vetores posição dos vértices em relação ao centro.
Passo 3
Vamos expressar cada um dos vetores da soma em termos dos vetores posição:
AB = OB - OA
BC = OC - OB
CD = OD - OC
DE = OE - OD
EF = OF - OE
Passo 4
Agora, vamos somar todos esses vetores:
AB + BC + CD + DE + EF = (OB - OA) + (OC - OB) + (OD - OC) + (OE - OD) + (OF - OE)
Passo 5
Observando a soma, veremos que muitos termos se cancelam:
= OB - OA + OC - OB + OD - OC + OE - OD + OF - OE
= -OA + OF
Passo 6
Então, a soma dos vetores fica:
AB + BC + CD + DE + EF = OF - OA
Passo 7
Agora, precisamos expressar OF - OA em termos de OD e OE. Sabendo que em um hexágono regular, os vetores posição dos vértices estão a 60° de distância uns dos outros, podemos relacionar OF e OA com OD e OE.
Passo 8
Considerando as simetrias do hexágono, podemos expressar:
OF = -OA e OE = -OB
Mas para simplificar, vamos considerar que:
OF - OA = -2OA
No entanto, para expressar em termos de OD e OE, precisamos usar relações angulares.
Passo 9
Finalmente, após as relações e simplificações, a soma dos vetores pode ser expressa como: