Determinar a dimensão e uma base para cada um dos seguintes espaços vetoriais:
y e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar a dimensão e uma base para o espaço vetorial definido por todos os vetores
que satisfazem
,
é qualquer valor e
. A matéria que estamos usando aqui é espaços vetoriais e bases, e vamos precisar entender o que define um espaço vetorial e como identificar uma base para ele.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa o conjunto dado:
. Isso quer dizer que todo vetor nesse espaço tem
fixo em 3,
pode ser qualquer número real e
sempre será o negativo de
.
Passo 3
No entanto, para ser um espaço vetorial, o conjunto precisa satisfazer certas propriedades, como conter o vetor zero, ser fechado sob adição e multiplicação por escalar. Vamos verificar se isso acontece aqui.
Passo 4
Olha só, se
sempre é 3, não conseguimos ter o vetor zero
porque em qualquer vetor desse conjunto,
. Isso significa que o conjunto não é um espaço vetorial. Talvez tenha havido um erro no enunciado, mas com base no que temos, não podemos prosseguir para encontrar dimensão e base porque não estamos lidando com um espaço vetorial válido.
Resposta
O conjunto
não é um espaço vetorial, pois não contém o vetor zero e não satisfaz as propriedades necessárias para ser um espaço vetorial.