Determinar a dimensão e uma base para cada um dos seguintes espaços vetoriais: (x, y, z) in R^3 ; x=3 y e z=-y

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar a dimensão e uma base para o espaço vetorial definido por todos os vetores (x, y, z) in R^3 que satisfazem x = 3, y é qualquer valor e z = -y. A matéria que estamos usando aqui é espaços vetoriais e bases, e vamos precisar entender o que define um espaço vetorial e como identificar uma base para ele.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa o conjunto dado: (x, y, z) in R^3 ; x=3, y e z=-y. Isso quer dizer que todo vetor nesse espaço tem x fixo em 3, y pode ser qualquer número real e z sempre será o negativo de y.

Passo 3

No entanto, para ser um espaço vetorial, o conjunto precisa satisfazer certas propriedades, como conter o vetor zero, ser fechado sob adição e multiplicação por escalar. Vamos verificar se isso acontece aqui.

Passo 4

Olha só, se x sempre é 3, não conseguimos ter o vetor zero (0, 0, 0) porque em qualquer vetor desse conjunto, x = 3. Isso significa que o conjunto não é um espaço vetorial. Talvez tenha havido um erro no enunciado, mas com base no que temos, não podemos prosseguir para encontrar dimensão e base porque não estamos lidando com um espaço vetorial válido.

Resposta

O conjunto (x, y, z) in R^3 ; x=3, y e z=-y não é um espaço vetorial, pois não contém o vetor zero e não satisfaz as propriedades necessárias para ser um espaço vetorial.

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