Calcular a distância entre as retas r e s nos seguintes casos:
(d) r:lx+2 y+3 z-6=0 y-2 z+1=0 e s:lx=7 t y=-2 t-1 z=-t+5

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a distância entre duas retas no espaço, chamadas r e s. A reta r está definida pela interseção de dois planos, e a reta s está dada de forma paramétrica. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria espacial, como vetores de direção e a fórmula para distância entre retas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar uma parametrização para a reta r. Como r é a interseção de dois planos, podemos resolver o sistema de equações para expressar x, y e z em função de um parâmetro.
Temos:
x + 2y + 3z - 6 = 0 y - 2z + 1 = 0
Vamos resolver o segundo eq. para y:
y = 2z - 1
Agora, substituímos y na primeira equação:
x + 2(2z - 1) + 3z - 6 = 0 x + 4z - 2 + 3z - 6 = 0 x + 7z - 8 = 0 x = 8 - 7z
Vamos escolher z = t como parâmetro. Então:
x = 8 - 7t y = 2t - 1 z = t
Agora temos a parametrização da reta r.

Passo 3

Agora, vamos identificar os vetores de direção das retas r e s.
Para a reta r, olhando a parametrização:
x = 8 - 7t y = 2t - 1 z = t
O vetor de direção é dado pelos coeficientes de t, então:
dr = -7 2 1
Para a reta s, que já está parametrizada:
x = 7t y = -2t -1 z = -t +5
O vetor de direção é:
ds = 7 -2 -1

Passo 4

Vamos escolher um ponto em cada reta para facilitar.
Para a reta r, quando t = 0:
Pr = (8, -1, 0)
Para a reta s, quando t = 0:
Ps = (0, -1, 5)
Agora, vamos formar um vetor que vai de Pr até Ps:
PrPs = 0 - 8 -1 - (-1) 5 - 0 = -8 0 5

Passo 5

Para encontrar a distância entre as retas, usamos a fórmula:
Distância = |dr times ds cdot PrPs||dr times ds| â
Aqui, times representa o produto vetorial e cdot o produto escalar.
Primeiro, vamos calcular o produto vetorial dr times ds:
dr times ds = i & j & k -7 & 2 & 1 7 & -2 & -1 = i(2 cdot (-1) - 1 cdot (-2)) - j(-7 cdot (-1) - 1 cdot 7) + k(-7 cdot (-2) - 2 cdot 7)
= i(-2 + 2) - j(7 - 7) + k(14 - 14) = 0
Ah, pera aí! O produto vetorial deu zero, o que significa que os vetores de direção são paralelos ou colineares. Nesse caso, precisamos verificar se as retas são paralelas ou coincidentes.

Passo 6

Como os vetores de direção são múltiplos um do outro:
ds = -1 cdot dr
Isso indica que as retas são paralelas. Agora, para encontrar a distância entre retas paralelas, podemos usar a fórmula:
Distância = |PrPs times dr||dr| â
Vamos calcular PrPs times dr:
PrPs times dr = i & j & k -8 & 0 & 5 -7 & 2 & 1 = i(0 cdot 1 - 5 cdot 2) - j(-8 cdot 1 - 5 cdot (-7)) + k(-8 cdot 2 - 0 cdot (-7))
= i(0 - 10) - j(-8 + 35) + k(-16 - 0) = -10 27 -16
Agora, o módulo desse vetor:
|PrPs times dr| = raiz(-10)^2 + 27^2 + (-16)^2 = raiz100 + 729 + 256 = raiz1085 approx 32,93
E o módulo de dr:
|dr| = raiz(-7)^2 + 2^2 + 1^2 = raiz49 + 4 + 1 = raiz54 approx 7,35
Finalmente, a distância:
Distância = 32,937,35 approx 4,48 â

Resposta

A distância entre as retas r e s é aproximadamente 4,48 unidades.

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