Calcular a distância entre as retas e nos seguintes casos:
(d) e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a distância entre duas retas no espaço, chamadas r e s. A reta r está definida pela interseção de dois planos, e a reta s está dada de forma paramétrica. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria espacial, como vetores de direção e a fórmula para distância entre retas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar uma parametrização para a reta r. Como r é a interseção de dois planos, podemos resolver o sistema de equações para expressar x, y e z em função de um parâmetro.
Temos:
x + 2y + 3z - 6 = 0 y - 2z + 1 = 0
Vamos resolver o segundo eq. para y:
y = 2z - 1
Agora, substituímos y na primeira equação:
x + 2(2z - 1) + 3z - 6 = 0 x + 4z - 2 + 3z - 6 = 0 x + 7z - 8 = 0 x = 8 - 7z
Vamos escolher z = t como parâmetro. Então:
x = 8 - 7t y = 2t - 1 z = t
Agora temos a parametrização da reta r.
Passo 3
Agora, vamos identificar os vetores de direção das retas r e s.
Para a reta r, olhando a parametrização:
x = 8 - 7t y = 2t - 1 z = t
O vetor de direção é dado pelos coeficientes de t, então:
dr = -7 2 1
Para a reta s, que já está parametrizada:
x = 7t y = -2t -1 z = -t +5
O vetor de direção é:
ds = 7 -2 -1
Passo 4
Vamos escolher um ponto em cada reta para facilitar.
Para a reta r, quando t = 0:
Pr = (8, -1, 0)
Para a reta s, quando t = 0:
Ps = (0, -1, 5)
Agora, vamos formar um vetor que vai de Pr até Ps:
PrPs = 0 - 8 -1 - (-1) 5 - 0 = -8 0 5
Passo 5
Para encontrar a distância entre as retas, usamos a fórmula:
Distância = |dr times ds cdot PrPs||dr times ds| â
Aqui, times representa o produto vetorial e cdot o produto escalar.
Primeiro, vamos calcular o produto vetorial dr times ds:
Ah, pera aí! O produto vetorial deu zero, o que significa que os vetores de direção são paralelos ou colineares. Nesse caso, precisamos verificar se as retas são paralelas ou coincidentes.
Passo 6
Como os vetores de direção são múltiplos um do outro:
ds = -1 cdot dr
Isso indica que as retas são paralelas. Agora, para encontrar a distância entre retas paralelas, podemos usar a fórmula: