A equação da curva abaixo pode ser a equação de uma elipse, ou a equação de uma circunferência, ou a equação de uma hipérbole no plano x y :
x^2k-3+y^22 k-10=1
Calcule o valor de k para que a referida equação torne-se: a equação de uma elipse com as coordenadas dos focos no eixo x;

Passo 1

Resumo do enunciado: Temos a equação x^2k-3+y^22k-10=1, que pode representar uma elipse, uma circunferência ou uma hipérbole no plano xy. Nosso objetivo é encontrar o valor de k para que essa equação seja a de uma elipse cujos focos estão no eixo x. Para resolver isso, vamos precisar entender as condições que caracterizam uma elipse com focos no eixo x.

Passo 2

Primeiro, para que a equação represente uma elipse, os denominadores de x^2 e y^2 devem ser positivos. Isso significa que:
k - 3 > 0 e 2k -10 > 0
Vamos resolver essas inequações:
k - 3 > 0 Rightarrow k > 3
2k -10 > 0 Rightarrow 2k > 10 Rightarrow k > 5
Portanto, k deve ser maior que 5.

Passo 3

Além disso, para que a elipse tenha seus focos no eixo x, o semi-eixo maior deve estar alinhado com o eixo x. Na equação padrão da elipse:
x^2a^2 + y^2b^2 = 1
Se a > b, o semi-eixo maior está no eixo x, e os focos também estarão nesse eixo. Portanto, devemos ter:
k - 3 > 2k -10
Vamos resolver essa inequação:
k - 3 > 2k -10
Subtraindo k dos dois lados:
-3 > k -10
Somando 10 aos dois lados:
7 > k
Ou seja,
k < 7

Passo 4

Combinando as condições encontradas anteriormente:
5 < k < 7
Portanto, o valor de k deve estar entre 5 e 7 para que a equação represente uma elipse com os focos no eixo x.

Resposta

5 < k < 7

Exercícios relacionados