A equação da curva abaixo pode ser a equação de uma elipse, ou a equação de uma circunferência, ou a equação de uma hipérbole no plano
:
Calcule o valor de
para que a referida equação torne-se: a equação de uma elipse com as coordenadas dos focos no eixo
;
Passo 1
Resumo do enunciado: Temos a equação
, que pode representar uma elipse, uma circunferência ou uma hipérbole no plano
. Nosso objetivo é encontrar o valor de
para que essa equação seja a de uma elipse cujos focos estão no eixo
. Para resolver isso, vamos precisar entender as condições que caracterizam uma elipse com focos no eixo
.
Passo 2
Primeiro, para que a equação represente uma elipse, os denominadores de
e
devem ser positivos. Isso significa que:
Vamos resolver essas inequações:
Portanto,
deve ser maior que 5.
Passo 3
Além disso, para que a elipse tenha seus focos no eixo
, o semi-eixo maior deve estar alinhado com o eixo
. Na equação padrão da elipse:
Se
, o semi-eixo maior está no eixo
, e os focos também estarão nesse eixo. Portanto, devemos ter:
Vamos resolver essa inequação:
Subtraindo
dos dois lados:
Somando 10 aos dois lados:
Ou seja,
Passo 4
Combinando as condições encontradas anteriormente:
Portanto, o valor de
deve estar entre 5 e 7 para que a equação represente uma elipse com os focos no eixo
.