Obtenha a equação do lugar geométrico dos pontos
, tais que a medida em radianos do ângulo entre o eixo
e a reta que passa por
e
seja
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos encontrar todos os pontos
no espaço que formam um ângulo de
radianos com o eixo
quando conectados ao ponto
. Vamos precisar entender conceitos de geometria espacial, especificamente sobre ângulos entre vetores e a equação de um círculo ou cone no espaço.
Passo 2
Primeiro, vamos pensar no vetor que vai de
até
. Se
, então o vetor
é dado por:
Esse vetor representa a reta que conecta
a
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o ângulo entre esse vetor
e o eixo
. O eixo
é representado pelo vetor
.
Passo 4
Usamos a fórmula do cosseno do ângulo entre dois vetores:
Aqui,
e
.
Passo 5
Calculando o produto interno
:
E as normas dos vetores:
Passo 6
Sabemos que o ângulo
, então:
Aplicando na fórmula:
Passo 7
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar a relação entre
,
e
. Primeiro, elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Passo 8
Multiplicando ambos os lados por
:
Distribuindo:
Passo 9
Subtraindo
de ambos os lados:
Multiplicando tudo por 2 para simplificar:
Resposta
A equação do lugar geométrico é
.