Obtenha a equação do lugar geométrico dos pontos X, tais que a medida em radianos do ângulo entre o eixo O z e a reta que passa por X e P=(0,0,2) seja pi4.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos encontrar todos os pontos no espaço que formam um ângulo de radianos com o eixo quando conectados ao ponto . Vamos precisar entender conceitos de geometria espacial, especificamente sobre ângulos entre vetores e a equação de um círculo ou cone no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar no vetor que vai de PX = (x - 0, y - 0, z - 2) = (x, y, z - 2) até . Se , então o vetor é dado por:
Esse vetor representa a reta que conecta a .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o ângulo entre esse vetor e o eixo . O eixo é representado pelo vetor .

Passo 4

Usamos a fórmula do cosseno do ângulo entre dois vetores:
cos(theta) = u cdot v|u| cdot |v|
Aqui, e .

Passo 5

Calculando o produto interno PX cdot k = x cdot 0 + y cdot 0 + (z - 2) cdot 1 = z - 2 :
|PX| = raizx^2 + y^2 + (z - 2)^2
E as normas dos vetores:
|k| = 1

Passo 6

Sabemos que o ângulo cos(pi4) = raiz22 , então:
raiz22 = z - 2raizx^2 + y^2 + (z - 2)^2
Aplicando na fórmula:

Passo 7

Agora, vamos resolver essa equação para encontrar a relação entre (raiz22)^2 = (z - 2)^2x^2 + y^2 + (z - 2)^2 , 24 = (z - 2)^2x^2 + y^2 + (z - 2)^2 e 12 = (z - 2)^2x^2 + y^2 + (z - 2)^2 . Primeiro, elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:

Passo 8

Multiplicando ambos os lados por 12 (x^2 + y^2 + (z - 2)^2) = (z - 2)^2 :
12x^2 + 12y^2 + 12(z - 2)^2 = (z - 2)^2
Distribuindo:

Passo 9

Subtraindo 12x^2 + 12y^2 = 12(z - 2)^2 de ambos os lados:
x^2 + y^2 = (z - 2)^2
Multiplicando tudo por 2 para simplificar:

Resposta

A equação do lugar geométrico é .

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