Seja
Sabendo que o volume do tetraedro A B C D é 8 cm^3,
podemos concluir que o volume do
tetraedro P A B C é: square cm^3.
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. Primeiro, o enunciado fala sobre vetores e volumes de tetraedros. Precisamos entender como calcular o volume do tetraedro PABC sabendo o volume de ABCD. Vamos usar conceitos de álgebra vetorial e geometria espacial para resolver isso.
Passo 2
Vamos começar entendendo o que significa a expressão para o ponto P:
P = A + 3AB + 3AC + 7AD
Aqui, AB, AC e AD são vetores que partem do ponto A em direção aos pontos B, C e D, respectivamente. O ponto P é uma combinação linear desses vetores, ou seja, ele está em uma posição específica no espaço em relação a A, B, C e D.
Passo 3
Para facilitar, vamos reescrever a expressão de P em termos dos vetores:
AP = 3AB + 3AC + 7AD
Isso significa que o vetor que vai de A até P é igual a três vezes o vetor AB, mais três vezes o vetor AC, mais sete vezes o vetor AD.
Passo 4
Agora, vamos lembrar que o volume de um tetraedro pode ser calculado usando uma combinação linear dos vetores que formam suas arestas. No caso, sabemos que o volume do tetraedro ABCD é 8 cm^3.
Passo 5
Para encontrar o volume do tetraedro PABC, observamos que P está relacionado aos vetores de AB, AC e AD. A combinação desses vetores nos diz como P se posiciona em relação ao tetraedro original ABCD.
Passo 6
Considerando que a combinação linear de vetores afeta diretamente o volume, podemos calcular a parte da contribuição de P para o volume. Como os coeficientes de AB, AC e AD são 3, 3 e 7, respectivamente, a soma desses coeficientes é 3 + 3 + 7 = 13.
Passo 7
O volume do tetraedro PABC será uma fração do volume de ABCD proporcional à soma dos coeficientes. Portanto, a fração é 1314 (já que 13 é a soma dos coeficientes para P e 14 é a soma total considerando P e D).