Calcular a distância entre as retas r1:lx=t+1 y=t+2 z=-2 t-2 e r2:ly=3 x+1 z=-4 x
Resposta: d(A, r)=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a distância entre duas retas no espaço tridimensional. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre retas e como calcular a distância entre elas quando não são paralelas nem coincidentes. Vamos precisar identificar os vetores diretores das retas e usar uma fórmula que envolve esses vetores para encontrar a distância buscada.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores diretores de cada reta. Olha só:
Para a reta x = t + 1 y = t + 2 z = -2t - 2 :
d1 = 1 1 -2
Aqui, o parâmetro é y = 3x + 1 z = -4x , então o vetor diretor y = 3s + 1 z = -4s é formado pelos coeficientes de d2 = 1 3 -4 nas equações, ou seja:
Para a reta :
Aqui, vamos escolher como parâmetro, digamos . Então:
O vetor diretor é:

Passo 3

Agora, precisamos verificar se as retas são paralelas, coincidentes ou se elas se cruzam (interseccionam). Se as retas forem paralelas ou coincidirem, a distância pode ser calculada de uma maneira específica. Se não forem, ou seja, se forem “skew lines” (retas que não são nem paralelas nem se cruzam), usamos outra abordagem.
Para saber se as retas são paralelas, comparamos os vetores diretores. Se um vetor for múltiplo do outro, as retas são paralelas. Vamos ver:
d1 = 1 1 -2 , d2 = 1 3 -4
Claramente, não é um múltiplo de , então as retas não são paralelas.

Passo 4

Como as retas não são paralelas, vamos verificar se elas se intersectam. Para isso, procuramos valores de t + 1 = s t + 2 = 3s + 1 -2t - 2 = -4s e t + 2 = 3(t + 1) + 1 t + 2 = 3t + 3 + 1 t + 2 = 3t + 4 -2t = 2 t = -1 que satisfazem ambas as equações das retas simultaneamente.
Igualando as coordenadas:
-2(-1) - 2 = -4(0) 2 - 2 = 0 0 = 0
Da primeira equação, . Substituindo na segunda:
Agora, substituindo na primeira equação, . Verificando na terceira equação:
Tudo confere! Então, as retas se intersectam no ponto correspondente a e , ou seja, no ponto .

Resposta

A distância entre as retas e é , já que elas se intersectam.

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