Mostre que a interseção de subespaços é também um subespaço e verifique com um exemplo que a união de subespaços nem sempre é um subespaço.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrarmos que a interseção de subespaços é também um subespaço e, além disso, verificar com um exemplo que a união de subespaços nem sempre forma um subespaço. Vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre subespaços vetoriais, e verificar as propriedades que definem um subespaço.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um subespaço de um espaço vetorial
é um subconjunto que satisfaz três condições:
- Contém o vetor zero: O vetor zero de
está no subespaço. - Fechado sob adição: Se
e são no subespaço, então também está no subespaço. - Fechado sob multiplicação por escalar: Se
está no subespaço e é um escalar, então também está no subespaço.
Vamos começar mostrando que a interseção de dois subespaços satisfaz essas três propriedades.
Passo 3
Interseção de Subespaços:
Seja
e
dois subespaços de
. Queremos provar que
também é um subespaço de
.
- Contém o vetor zero: O vetor zero está em
e em (já que ambos são subespaços), então ele está em . - Fechado sob adição: Se
e estão em , então e estão em e em . Como e são fechados sob adição, está em e em , logo está em . - Fechado sob multiplicação por escalar: Se
está em e é um escalar, então está em e em . Como e são fechados sob multiplicação por escalar, está em e em , então está em .
Portanto,
é um subespaço de
.
Passo 4
União de Subespaços:
Agora, vamos ver por que a união de dois subespaços nem sempre é um subespaço. Para isso, vamos usar um exemplo concreto.
Considere
e defina dois subespaços
e
como segue:
-
(eixo x) -
(eixo y)
A união
consiste em todos os vetores que estão no eixo x ou no eixo y. Vamos verificar se
é um subespaço.
- Contém o vetor zero: Sim, o vetor
está tanto em quanto em . - Fechado sob adição: Vamos pegar
em e em . A soma não está nem em nem em . Então, não é fechado sob adição. - Fechado sob multiplicação por escalar: Mesmo que essa propriedade possa ser satisfeita para vetores individuais, a falha na adição já mostra que a união não é um subespaço.
Portanto, a união de
e
não é um subespaço de
.
Resposta
Mostramos que a interseção de subespaços é um subespaço e, usando um exemplo concreto em
, verificamos que a união de subespaços nem sempre forma um subespaço.