Mostre que a interseção de subespaços é também um subespaço e verifique com um exemplo que a união de subespaços nem sempre é um subespaço.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrarmos que a interseção de subespaços é também um subespaço e, além disso, verificar com um exemplo que a união de subespaços nem sempre forma um subespaço. Vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre subespaços vetoriais, e verificar as propriedades que definem um subespaço.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um subespaço de um espaço vetorial é um subconjunto que satisfaz três condições:
  1. Contém o vetor zero: O vetor zero de está no subespaço.
  2. Fechado sob adição: Se e são no subespaço, então também está no subespaço.
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: Se está no subespaço e é um escalar, então também está no subespaço.
Vamos começar mostrando que a interseção de dois subespaços satisfaz essas três propriedades.

Passo 3

Interseção de Subespaços:
Seja e dois subespaços de . Queremos provar que também é um subespaço de .
  1. Contém o vetor zero: O vetor zero está em e em (já que ambos são subespaços), então ele está em .
  2. Fechado sob adição: Se e estão em , então e estão em e em . Como e são fechados sob adição, está em e em , logo está em .
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: Se está em e é um escalar, então está em e em . Como e são fechados sob multiplicação por escalar, está em e em , então está em .
Portanto, é um subespaço de .

Passo 4

União de Subespaços:
Agora, vamos ver por que a união de dois subespaços nem sempre é um subespaço. Para isso, vamos usar um exemplo concreto.
Considere e defina dois subespaços e como segue:
  • (eixo x)
  • (eixo y)
A união consiste em todos os vetores que estão no eixo x ou no eixo y. Vamos verificar se é um subespaço.
  1. Contém o vetor zero: Sim, o vetor está tanto em quanto em .
  2. Fechado sob adição: Vamos pegar em e em . A soma não está nem em nem em . Então, não é fechado sob adição.
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: Mesmo que essa propriedade possa ser satisfeita para vetores individuais, a falha na adição já mostra que a união não é um subespaço.
Portanto, a união de e não é um subespaço de .

Resposta

Mostramos que a interseção de subespaços é um subespaço e, usando um exemplo concreto em , verificamos que a união de subespaços nem sempre forma um subespaço.

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