a) Quais sāo os valores próprios e os vetores próprios da matriz identidade?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma matriz identidade e precisa descobrir quais são os valores próprios e os vetores próprios dela. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, especificamente sobre autovalores e autovetores. Para resolver isso, vamos lembrar o que são valores próprios (autovalores) e vetores próprios (autovetores) e aplicar esses conceitos à matriz identidade.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que são valores próprios e vetores próprios. Um valor próprio de uma matriz
é um número
tal que existe um vetor próprio
não nulo que satisfaz a equação:
Ou seja, quando a matriz
age sobre o vetor
, o resultado é apenas o vetor
escalado por
.
Passo 3
Agora, vamos considerar a matriz identidade. A matriz identidade
é uma matriz quadrada onde todos os elementos da diagonal principal são 1 e os demais são 0. Por exemplo, em 2 dimensões:
Quando multiplicamos qualquer vetor
pela matriz identidade, o resultado é o próprio vetor:
Passo 4
Comparando isso com a definição de valor próprio, temos:
Isso implica que:
Para que isso seja verdadeiro, o único valor que satisfaz essa equação é
.
Passo 5
Então, o valor próprio da matriz identidade é
.
Passo 6
Quanto aos vetores próprios, observamos que a equação
é válida para qualquer vetor
não nulo. Ou seja, todos os vetores não nulos são vetores próprios da matriz identidade.
Resposta
A matriz identidade tem um único valor próprio, que é
, e todos os vetores não nulos são vetores próprios associados a esse valor.