a) Quais sāo os valores próprios e os vetores próprios da matriz identidade?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma matriz identidade e precisa descobrir quais são os valores próprios e os vetores próprios dela. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, especificamente sobre autovalores e autovetores. Para resolver isso, vamos lembrar o que são valores próprios (autovalores) e vetores próprios (autovetores) e aplicar esses conceitos à matriz identidade.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que são valores próprios e vetores próprios. Um valor próprio de uma matriz Av = lambda v é um número tal que existe um vetor próprio não nulo que satisfaz a equação:
Ou seja, quando a matriz age sobre o vetor , o resultado é apenas o vetor escalado por .

Passo 3

Agora, vamos considerar a matriz identidade. A matriz identidade I = 1 & 0 0 & 1 é uma matriz quadrada onde todos os elementos da diagonal principal são 1 e os demais são 0. Por exemplo, em 2 dimensões:
Iv = v
Quando multiplicamos qualquer vetor pela matriz identidade, o resultado é o próprio vetor:

Passo 4

Comparando isso com a definição de valor próprio, temos:
Iv = v = lambda v
Isso implica que:
lambda v = v
Para que isso seja verdadeiro, o único valor que satisfaz essa equação é .

Passo 5

Então, o valor próprio da matriz identidade é .

Passo 6

Quanto aos vetores próprios, observamos que a equação é válida para qualquer vetor não nulo. Ou seja, todos os vetores não nulos são vetores próprios da matriz identidade.

Resposta

A matriz identidade tem um único valor próprio, que é , e todos os vetores não nulos são vetores próprios associados a esse valor.

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