Verifique se o vetor u=(1,2,3) pertence ao subespaço de R^3 gerado pelos vetores v=(0,1,2) e w=(1,0,1).

Passo 1

Vamos lá! A gente tem um vetor u = (1, 2, 3) e queremos saber se ele pertence ao subespaço de R^3 gerado pelos vetores v = (0, 1, 2) e w = (1, 0, 1). Isso significa que queremos ver se conseguimos escrever o vetor u como uma combinação linear dos vetores v e w. Para isso, vamos usar conceitos de espacos vetoriais e combinação linear.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma combinação linear. Dizemos que u é uma combinação linear de v e w se existirem números (escalares) a e b tais que:
u = a cdot v + b cdot w
Isso quer dizer que podemos multiplicar o vetor v por a, o vetor w por b e somar os resultados para obter o vetor u.

Passo 3

Vamos substituir os vetores na equação acima:
(1, 2, 3) = a cdot (0, 1, 2) + b cdot (1, 0, 1)
Isso resulta em:
(1, 2, 3) = (0 cdot a + 1 cdot b, ; 1 cdot a + 0 cdot b, ; 2 cdot a + 1 cdot b)
Simplificando:
(1, 2, 3) = (b, ; a, ; 2a + b)

Passo 4

Agora, vamos comparar cada componente dos vetores para montar um sistema de equações:
  1. Componente x: b = 1
  2. Componente y: a = 2
  3. Componente z: 2a + b = 3

Passo 5

Já temos b = 1 e a = 2. Vamos verificar se essas soluções satisfazem a terceira equação:
2a + b = 2 cdot 2 + 1 = 4 + 1 = 5
Mas na equação z queremos que 2a + b = 3. Aqui temos um problema, já que 5 neq 3.

Passo 6

Como as soluções para a e b não satisfazem todas as equações simultaneamente, isso significa que não existe uma combinação linear dos vetores v e w que resulte no vetor u.

Resposta

O vetor u = (1, 2, 3) não pertence ao subespaço de R^3 gerado pelos vetores v = (0, 1, 2) e w = (1, 0, 1).

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