Verifique a posição relativa entre as retas e caso haja o ponto de interseção, determine-o:
c) r1:
r2: lx=-3+2 t y=1-2 t z=-1-2 t
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos duas retas no espaço, r₁ e r₂, definidas por equações paramétricas. Nosso objetivo é descobrir como essas retas estão posicionadas uma em relação à outra: se são paralelas, se se cruzam em um ponto (interseção) ou se são retas que não se cruzam nem são paralelas (retas “skew”). Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como equações paramétricas de retas e resolução de sistemas de equações.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever as equações paramétricas das duas retas de forma clara.
Para a reta r₁:
x = 2 + t y = 4 - t z = -t
Aqui, x = -3 + 2s y = 1 - 2s z = -1 - 2s é o parâmetro que varia, determinando os pontos da reta r₁.
Para a reta r₂:
Aqui, é o parâmetro para a reta r₂.
Passo 3
Para verificar se as retas se cruzam, precisamos encontrar valores de 2 + t = -3 + 2s (1) 4 - t = 1 - 2s (2) -t = -1 - 2s (3) e que satisfaçam simultaneamente as equações das duas retas. Isso significa que existe um ponto de interseção se conseguimos encontrar e que tornam , e iguais para ambas as retas.
Vamos igualar as equações correspondentes:
Passo 4
Agora, vamos resolver esse sistema de equações para encontrar 2 + t = -3 + 2s t = 2s - 5 (4) e 4 - t = 1 - 2s t = 3 + 2s (5) .
Primeiro, da equação (1):
2s - 5 = 3 + 2s
Da equação (2):
-5 = 3
Agora, temos duas expressões para (das equações (4) e (5)):
Subtraindo de ambos os lados:
Isso é impossível, ou seja, não existe solução para e que satisfaça ambas as equações.
Passo 5
Como não conseguimos encontrar valores de e que satisfaçam todas as três equações simultaneamente, concluímos que as retas r₁ e r₂ não se interceptam.
Resposta
As retas r₁ e r₂ não possuem ponto de interseção, ou seja, não se cruzam.