Calcular a diståncia entre as retas r e s nos seguintes casos:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a distância entre duas retas, chamadas de r e s. Esse tipo de problema faz parte da matéria de Geometria Analítica, mais especificamente sobre retas no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre vetores, direção das retas e uma fórmula que nos ajuda a encontrar a distância entre elas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as equações paramétricas das retas r e s. Você me enviou a equação da reta r:
Vamos supor que a reta s também esteja definida de forma similar, por exemplo:
Aqui, t e u são os parâmetros das retas.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar os vetores diretores das retas r e s. O vetor diretor de uma reta é dado pelos coeficientes que acompanham os parâmetros nas equações paramétricas.
Para a reta r, o vetor diretor é:
E para a reta s, o vetor diretor é:

Passo 4

A próxima etapa é verificar se as retas são paralelas ou não. Se elas não são paralelas, elas podem ser eskews (retas que não se cruzam e não são paralelas). Nesse caso, vamos calcular a distância entre elas usando a seguinte fórmula:
â
Onde:
  • é o produto vetorial dos vetores diretores.
  • é o vetor que vai de um ponto da reta s para um ponto da reta r.
  • O ponto em r pode ser, por exemplo, quando : .
  • O ponto em s pode ser, por exemplo, quando : .

Passo 5

Vamos calcular o vetor :

Passo 6

Agora, vamos calcular o produto vetorial :
Simplificando:

Passo 7

Vamos calcular o produto escalar :

Passo 8

Agora, vamos calcular o módulo do produto vetorial :

Passo 9

Finalmente, aplicamos a fórmula da distância:
â

Resposta

A distância entre as retas r e s é aproximadamente 0,739 unidades.

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Dados os subespaços de


Calcule:
[Dica:
Calcule uma base ortogonal para o que contenha o vetor .
Suponha que os eixos e no plano sejam rotacionados em no sentido anti-horário, de tal forma que o novo eixo se encontre na reta e o novo eixo na reta . Calcule:
a) A matriz de mudança de base ;
b) As novas coordenadas do ponto após a rotação indicada.
Calcule uma base ortogonal para o que contenha os vetores .