Suponha que os eixos x e y no plano R^2 sejam rotacionados em 45^circ no sentido anti-horário, de tal forma que o novo eixo x^prime se encontre na reta x=y e o novo eixo y^prime na reta x=-y. Calcule:
a) A matriz de mudança de base P;
b) As novas coordenadas do ponto A(5,6) após a rotação indicada.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão envolve uma rotação dos eixos no plano em no sentido anti-horário. Vamos precisar usar conceitos de matrizes de rotação e mudança de base para determinar:
a) A matriz de mudança de base ;
b) As novas coordenadas do ponto após essa rotação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma matriz de rotação. No plano, uma rotação de um ângulo R(theta) = cos(theta) & -sin(theta) sin(theta) & cos(theta) pode ser representada pela matriz:
Aqui, é o ângulo de rotação. No nosso caso, .

Passo 3

Calculando os valores de cos(45^circ) = sin(45^circ) = raiz22 e R(45^circ) = raiz22 & -raiz22 raiz22 & raiz22 :
Substituindo esses valores na matriz de rotação:

Passo 4

Essa matriz P = raiz22 & -raiz22 raiz22 & raiz22 é precisamente a matriz de mudança de base , pois ela transforma as coordenadas do sistema original para o sistema rotacionado em .
Então, a matriz de mudança de base é:

Passo 5

Agora, vamos encontrar as novas coordenadas do ponto P^T = raiz22 & raiz22 -raiz22 & raiz22 após a rotação. Para isso, usamos a matriz inversa de . Como é uma matriz de rotação, sua inversa é igual à sua transposta, ou seja, .
Calculando a transposta de :

Passo 6

Multiplicamos a matriz transposta A' = P^T cdot 5 6 = raiz22 & raiz22 -raiz22 & raiz22 cdot 5 6 pelo vetor coordenado de raiz22 cdot 5 + raiz22 cdot 6 = raiz22 cdot (5 + 6) = raiz22 cdot 11 = 11raiz22 :
-raiz22 cdot 5 + raiz22 cdot 6 = raiz22 cdot (-5 + 6) = raiz22 cdot 1 = raiz22
Realizando a multiplicação:
Para a primeira coordenada:
Para a segunda coordenada:

Resposta

a) A matriz de mudança de base P = raiz22 & -raiz22 raiz22 & raiz22 é:
A' ( 11raiz22, raiz22 )
b) As novas coordenadas do ponto após a rotação são:

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