Suponha que os eixos
e
no plano
sejam rotacionados em
no sentido anti-horário, de tal forma que o novo eixo
se encontre na reta
e o novo eixo
na reta
. Calcule:
a) A matriz de mudança de base
;
b) As novas coordenadas do ponto
após a rotação indicada.
a) A matriz de mudança de base
b) As novas coordenadas do ponto
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão envolve uma rotação dos eixos no plano
em
no sentido anti-horário. Vamos precisar usar conceitos de matrizes de rotação e mudança de base para determinar:
a) A matriz de mudança de base
;
b) As novas coordenadas do ponto
após essa rotação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma matriz de rotação. No plano, uma rotação de um ângulo
pode ser representada pela matriz:
Aqui,
é o ângulo de rotação. No nosso caso,
.
Passo 3
Calculando os valores de
e
:
Substituindo esses valores na matriz de rotação:
Passo 4
Essa matriz
é precisamente a matriz de mudança de base
, pois ela transforma as coordenadas do sistema original para o sistema rotacionado em
.
Então, a matriz de mudança de base
é:
Passo 5
Agora, vamos encontrar as novas coordenadas do ponto
após a rotação. Para isso, usamos a matriz inversa de
. Como
é uma matriz de rotação, sua inversa é igual à sua transposta, ou seja,
.
Calculando a transposta de
:
Passo 6
Multiplicamos a matriz transposta
pelo vetor coordenado de
:
Realizando a multiplicação:
Para a primeira coordenada:
Para a segunda coordenada:
Resposta
a) A matriz de mudança de base
é:
b) As novas coordenadas do ponto
após a rotação são: