Suponha que os eixos e no plano sejam rotacionados em no sentido anti-horário, de tal forma que o novo eixo se encontre na reta e o novo eixo na reta . Calcule:
a) A matriz de mudança de base ;
b) As novas coordenadas do ponto após a rotação indicada.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão envolve uma rotação dos eixos no plano em no sentido anti-horário. Vamos precisar usar conceitos de matrizes de rotação e mudança de base para determinar:
a) A matriz de mudança de base ;
b) As novas coordenadas do ponto após essa rotação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma matriz de rotação. No plano, uma rotação de um ângulo pode ser representada pela matriz:
Aqui, é o ângulo de rotação. No nosso caso, .
Passo 3
Calculando os valores de e :
Substituindo esses valores na matriz de rotação:
Passo 4
Essa matriz é precisamente a matriz de mudança de base , pois ela transforma as coordenadas do sistema original para o sistema rotacionado em .
Então, a matriz de mudança de base é:
Passo 5
Agora, vamos encontrar as novas coordenadas do ponto após a rotação. Para isso, usamos a matriz inversa de . Como é uma matriz de rotação, sua inversa é igual à sua transposta, ou seja, .
Calculando a transposta de :
Passo 6
Multiplicamos a matriz transposta pelo vetor coordenado de :
Realizando a multiplicação:
Para a primeira coordenada:
Para a segunda coordenada:
Resposta
a) A matriz de mudança de base é:
b) As novas coordenadas do ponto após a rotação são: