Dados os subespaços de


Calcule:
[Dica:

Passo 1

Vamos resolver um exercício de álgebra linear que envolve calcular a dimensão da soma de dois subespaços em . O conteúdo principal aqui é dimensão de subespaços e a fórmula para a dimensão da soma de dois subespaços. Para isso, vamos precisar entender como encontrar a dimensão de cada subespaço individualmente e a dimensão da interseção deles.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os subespaços e dados:
Cada um desses subespaços é definido por uma única equação linear em .

Passo 3

Sabemos que em , cada equação linear reduz a dimensão do espaço em 1. Então, a dimensão de cada subespaço e é:
Isso porque estamos reduzindo a dimensão do espaço original ( ) por para cada subespaço.

Passo 4

Agora, precisamos encontrar a dimensão da interseção dos subespaços e , ou seja, . Para isso, resolvemos o sistema de equações:
Subtraindo a segunda equação da primeira, temos:
Substituindo na segunda equação:
Portanto, a solução geral é:
Isso significa que a interseção é uma linha, ou seja, um subespaço de dimensão 1.

Passo 5

Agora, aplicamos a fórmula da dimensão da soma de dois subespaços:
Substituindo os valores encontrados:

Resposta

Exercícios relacionados

Calcule uma base ortogonal para o que contenha o vetor .
Nos problemas 49 a 51 , determinar o ponto de interseção da reta 1 com o plano nos seguintes casos:
51) r:
Calcular a diståncia entre as retas r e s nos seguintes casos:
Suponha que os eixos e no plano sejam rotacionados em no sentido anti-horário, de tal forma que o novo eixo se encontre na reta e o novo eixo na reta . Calcule:
a) A matriz de mudança de base ;
b) As novas coordenadas do ponto após a rotação indicada.