Dados os subespaços de R^3
S1=(x1, x2, x3) in R^3 / x1-2 x2+3 x3=0
S2=(x1, x2, x3) in R^3 / x1-x2+x3=0
Calcule: dim(S1+S2)
[Dica: dim(U+V)=dim(U)+dim(V)-dim(U cap V)]

Passo 1

Vamos resolver um exercício de álgebra linear que envolve calcular a dimensão da soma de dois subespaços em . O conteúdo principal aqui é dimensão de subespaços e a fórmula para a dimensão da soma de dois subespaços. Para isso, vamos precisar entender como encontrar a dimensão de cada subespaço individualmente e a dimensão da interseção deles.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os subespaços S1 = (x1, x2, x3) in R^3 mid x1 - 2x2 + 3x3 = 0 e S2 = (x1, x2, x3) in R^3 mid x1 - x2 + x3 = 0 dados:
Cada um desses subespaços é definido por uma única equação linear em .

Passo 3

Sabemos que em dim(S1) = 2 , cada equação linear reduz a dimensão do espaço em 1. Então, a dimensão de cada subespaço dim(S2) = 2 e é:
Isso porque estamos reduzindo a dimensão do espaço original ( ) por para cada subespaço.

Passo 4

Agora, precisamos encontrar a dimensão da interseção dos subespaços x1 - 2x2 + 3x3 = 0 x1 - x2 + x3 = 0 e - x2 + 2x3 = 0 Rightarrow x2 = 2x3 , ou seja, x1 - 2x3 + x3 = 0 Rightarrow x1 = x3 . Para isso, resolvemos o sistema de equações:
x1 = t, x2 = 2t, x3 = t onde t in R
Subtraindo a segunda equação da primeira, temos:
dim(S1 cap S2) = 1
Substituindo na segunda equação:
Portanto, a solução geral é:
Isso significa que a interseção é uma linha, ou seja, um subespaço de dimensão 1.

Passo 5

Agora, aplicamos a fórmula da dimensão da soma de dois subespaços:
dim(S1 + S2) = dim(S1) + dim(S2) - dim(S1 cap S2)
Substituindo os valores encontrados:
dim(S1 + S2) = 2 + 2 - 1 = 3

Resposta

dim(S1 + S2) = 3

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