Vamos resolver um exercício de álgebra linear que envolve calcular a dimensão da soma de dois subespaços em . O conteúdo principal aqui é dimensão de subespaços e a fórmula para a dimensão da soma de dois subespaços. Para isso, vamos precisar entender como encontrar a dimensão de cada subespaço individualmente e a dimensão da interseção deles.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os subespaços e dados:
Cada um desses subespaços é definido por uma única equação linear em .
Passo 3
Sabemos que em , cada equação linear reduz a dimensão do espaço em 1. Então, a dimensão de cada subespaço e é:
Isso porque estamos reduzindo a dimensão do espaço original () por para cada subespaço.
Passo 4
Agora, precisamos encontrar a dimensão da interseção dos subespaços e , ou seja, . Para isso, resolvemos o sistema de equações:
Subtraindo a segunda equação da primeira, temos:
Substituindo na segunda equação:
Portanto, a solução geral é:
Isso significa que a interseção é uma linha, ou seja, um subespaço de dimensão 1.
Passo 5
Agora, aplicamos a fórmula da dimensão da soma de dois subespaços: