Calcule uma base ortogonal para o
que contenha os vetores
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de Álgebra Linear juntos! A gente precisa encontrar uma base ortogonal para o espaço
que inclua os vetores
e
. Basicamente, uma base ortogonal é um conjunto de vetores que são todos perpendiculares entre si e que “geram” todo o espaço
. Para isso, vamos precisar usar o Processo de Gram-Schmidt, que ajuda a transformar um conjunto de vetores qualquer em um conjunto de vetores ortogonais.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se os vetores que nos deram já são ortogonais. Dois vetores são ortogonais se o produto interno deles for zero. O produto interno de
e
é dado por:
Vamos calcular o produto interno dos vetores
e
:
Como o produto interno é zero, os vetores
e
já são ortogonais! Legal, isso facilita as coisas.
Passo 3
Agora, precisamos completar essa base com mais dois vetores ortogonais aos dois que já temos, de modo que tenhamos uma base completa para
. Para isso, vamos escolher vetores que sejam ortogonais tanto a
quanto a
. Podemos escolher vetores com componentes simples para facilitar.
Vamos escolher
. Vamos verificar se ele é ortogonal aos anteriores:
Perfeito,
é ortogonal a ambos.
Passo 4
Falta agora encontrar um quarto vetor
que seja ortogonal aos três vetores anteriores. Vamos escolher
e verificar a ortogonalidade:
Ah, não funciona! Esse vetor não é ortogonal a
. Então, precisamos ajustar.
Vamos tentar
. Verificando:
Ainda não está. Vamos tentar novamente com
:
Ainda não está. Parece que encontrar manualmente é complicado, então vamos usar o Processo de Gram-Schmidt para garantir que achamos o vetor certo.
Passo 5
Vamos usar o Processo de Gram-Schmidt para encontrar
. Primeiro, vamos escolher um vetor qualquer que não esteja no espaço gerado pelos primeiros três vetores. Vamos escolher
.
Agora, vamos tornar
ortogonal aos primeiros três vetores:
Vamos calcular cada termo:
Agora substituímos:
Simplificando cada termo:
Subtraindo:
Oops! Acabamos de obter o vetor zero, o que significa que
estava no espaço gerado pelos primeiros três vetores. Vamos tentar outro vetor. Desta vez, vamos escolher
.
Repetindo o processo:
Calculando os produtos internos:
Substituindo:
Então,
.
Passo 6
Agora, temos nossos quatro vetores ortogonais:
Para finalizar, vamos normalizar os vetores para que eles formem uma base ortonormal (onde cada vetor tem comprimento 1), mas como o exercício só pede uma base ortogonal, não é necessário. Porém, se quiser, podemos normalizar cada vetor dividindo pelo seu comprimento.
Resposta
Uma base ortogonal para
que contém os vetores
e
é: