Calcule uma base ortogonal para o que contenha os vetores .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de Álgebra Linear juntos! A gente precisa encontrar uma base ortogonal para o espaço que inclua os vetores e . Basicamente, uma base ortogonal é um conjunto de vetores que são todos perpendiculares entre si e que “geram” todo o espaço . Para isso, vamos precisar usar o Processo de Gram-Schmidt, que ajuda a transformar um conjunto de vetores qualquer em um conjunto de vetores ortogonais.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se os vetores que nos deram já são ortogonais. Dois vetores são ortogonais se o produto interno deles for zero. O produto interno de e é dado por:
Vamos calcular o produto interno dos vetores e :
Como o produto interno é zero, os vetores e já são ortogonais! Legal, isso facilita as coisas.
Passo 3
Agora, precisamos completar essa base com mais dois vetores ortogonais aos dois que já temos, de modo que tenhamos uma base completa para . Para isso, vamos escolher vetores que sejam ortogonais tanto a quanto a . Podemos escolher vetores com componentes simples para facilitar.
Vamos escolher . Vamos verificar se ele é ortogonal aos anteriores:
Perfeito, é ortogonal a ambos.
Passo 4
Falta agora encontrar um quarto vetor que seja ortogonal aos três vetores anteriores. Vamos escolher e verificar a ortogonalidade:
Ah, não funciona! Esse vetor não é ortogonal a . Então, precisamos ajustar.
Vamos tentar . Verificando:
Ainda não está. Vamos tentar novamente com :
Ainda não está. Parece que encontrar manualmente é complicado, então vamos usar o Processo de Gram-Schmidt para garantir que achamos o vetor certo.
Passo 5
Vamos usar o Processo de Gram-Schmidt para encontrar . Primeiro, vamos escolher um vetor qualquer que não esteja no espaço gerado pelos primeiros três vetores. Vamos escolher .
Agora, vamos tornar ortogonal aos primeiros três vetores:
Vamos calcular cada termo:
Agora substituímos:
Simplificando cada termo:
Subtraindo:
Oops! Acabamos de obter o vetor zero, o que significa que estava no espaço gerado pelos primeiros três vetores. Vamos tentar outro vetor. Desta vez, vamos escolher .
Repetindo o processo:
Calculando os produtos internos:
Substituindo:
Então, .
Passo 6
Agora, temos nossos quatro vetores ortogonais:
Para finalizar, vamos normalizar os vetores para que eles formem uma base ortonormal (onde cada vetor tem comprimento 1), mas como o exercício só pede uma base ortogonal, não é necessário. Porém, se quiser, podemos normalizar cada vetor dividindo pelo seu comprimento.
Resposta
Uma base ortogonal para que contém os vetores e é: