Calcule uma base ortogonal para o R^4 que contenha os vetores (2,1,0,1),(-1,1,0,1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de Álgebra Linear juntos! A gente precisa encontrar uma base ortogonal para o espaço que inclua os vetores e . Basicamente, uma base ortogonal é um conjunto de vetores que são todos perpendiculares entre si e que “geram” todo o espaço . Para isso, vamos precisar usar o Processo de Gram-Schmidt, que ajuda a transformar um conjunto de vetores qualquer em um conjunto de vetores ortogonais.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se os vetores que nos deram já são ortogonais. Dois vetores são ortogonais se o produto interno deles for zero. O produto interno de u cdot v = u1v1 + u2v2 + u3v3 + u4v4 e v1 cdot v2 = (2)(-1) + (1)(1) + (0)(0) + (1)(1) = -2 + 1 + 0 + 1 = 0 é dado por:
Vamos calcular o produto interno dos vetores e :
Como o produto interno é zero, os vetores e já são ortogonais! Legal, isso facilita as coisas.

Passo 3

Agora, precisamos completar essa base com mais dois vetores ortogonais aos dois que já temos, de modo que tenhamos uma base completa para v1 cdot v3 = (2)(0) + (1)(0) + (0)(1) + (1)(0) = 0 + 0 + 0 + 0 = 0 . Para isso, vamos escolher vetores que sejam ortogonais tanto a v2 cdot v3 = (-1)(0) + (1)(0) + (0)(1) + (1)(0) = 0 + 0 + 0 + 0 = 0 quanto a . Podemos escolher vetores com componentes simples para facilitar.
Vamos escolher . Vamos verificar se ele é ortogonal aos anteriores:
Perfeito, é ortogonal a ambos.

Passo 4

Falta agora encontrar um quarto vetor v1 cdot v4 = (2)(0) + (1)(0) + (0)(0) + (1)(1) = 0 + 0 + 0 + 1 = 1 neq 0 que seja ortogonal aos três vetores anteriores. Vamos escolher v1 cdot v4 = (2)(0) + (1)(0) + (0)(1) + (1)(-1) = 0 + 0 + 0 -1 = -1 neq 0 e verificar a ortogonalidade:
v1 cdot v4 = (2)(1) + (1)(-2) + (0)(0) + (1)(0) = 2 -2 + 0 + 0 = 0
Ah, não funciona! Esse vetor não é ortogonal a v2 cdot v4 = (-1)(1) + (1)(-2) + (0)(0) + (1)(0) = -1 -2 + 0 + 0 = -3 neq 0 . Então, precisamos ajustar.
Vamos tentar . Verificando:
Ainda não está. Vamos tentar novamente com :
Ainda não está. Parece que encontrar manualmente é complicado, então vamos usar o Processo de Gram-Schmidt para garantir que achamos o vetor certo.

Passo 5

Vamos usar o Processo de Gram-Schmidt para encontrar u4 = v4' - v4' cdot v1v1 cdot v1 v1 - v4' cdot v2v2 cdot v2 v2 - v4' cdot v3v3 cdot v3 v3 . Primeiro, vamos escolher um vetor qualquer que não esteja no espaço gerado pelos primeiros três vetores. Vamos escolher v1 cdot v1 = 2^2 + 1^2 + 0^2 + 1^2 = 4 + 1 + 0 + 1 = 6 .
Agora, vamos tornar v2 cdot v2 = (-1)^2 + 1^2 + 0^2 + 1^2 = 1 + 1 + 0 + 1 = 3 ortogonal aos primeiros três vetores:
v3 cdot v3 = 0^2 + 0^2 + 1^2 + 0^2 = 0 + 0 + 1 + 0 = 1
Vamos calcular cada termo:
v4' cdot v1 = (1)(2) + (0)(1) + (0)(0) + (0)(1) = 2 + 0 + 0 + 0 = 2
v4' cdot v2 = (1)(-1) + (0)(1) + (0)(0) + (0)(1) = -1 + 0 + 0 + 0 = -1
v4' cdot v3 = (1)(0) + (0)(0) + (0)(1) + (0)(0) = 0 + 0 + 0 + 0 = 0
u4 = (1,0,0,0) - 26(2,1,0,1) - -13(-1,1,0,1) - 01(0,0,1,0)
26(2,1,0,1) = (46, 26, 0, 26) = (23, 13, 0, 13)
-13(-1,1,0,1) = (13, -13, 0, -13)
Agora substituímos:
01(0,0,1,0) = (0,0,0,0)
Simplificando cada termo:
u4 = (1,0,0,0) - (23, 13, 0, 13) - (13, -13, 0, -13) = (1 - 23 - 13, 0 - 13 + 13, 0 - 0 - 0, 0 - 13 + 13)
u4 = (0, 0, 0, 0)
u4 = (0,1,0,0) - v4' cdot v1v1 cdot v1 v1 - v4' cdot v2v2 cdot v2 v2 - v4' cdot v3v3 cdot v3 v3
Subtraindo:
v4' cdot v1 = (0)(2) + (1)(1) + (0)(0) + (0)(1) = 0 + 1 + 0 + 0 = 1
v4' cdot v2 = (0)(-1) + (1)(1) + (0)(0) + (0)(1) = 0 + 1 + 0 + 0 = 1
Oops! Acabamos de obter o vetor zero, o que significa que v4' cdot v3 = (0)(0) + (1)(0) + (0)(1) + (0)(0) = 0 + 0 + 0 + 0 = 0 estava no espaço gerado pelos primeiros três vetores. Vamos tentar outro vetor. Desta vez, vamos escolher u4 = (0,1,0,0) - 16(2,1,0,1) - 13(-1,1,0,1) - 0(0,0,1,0) .
Repetindo o processo:
= (0,1,0,0) - (26, 16, 0, 16) - (-13, 13, 0, 13)
Calculando os produtos internos:
= (0 - 26 + 13, 1 - 16 - 13, 0 - 0 - 0, 0 - 16 - 13)
= (0 - 13 + 13, 1 - 16 - 26, 0, 0 - 16 - 26)
= (0, 1 - 36, 0, -36) = (0, 12, 0, -12)
Substituindo:
Então, .

Passo 6

Agora, temos nossos quatro vetores ortogonais:
v1 = (2,1,0,1)
v2 = (-1,1,0,1)
v3 = (0,0,1,0)
u4 = (0, 12, 0, -12)
Para finalizar, vamos normalizar os vetores para que eles formem uma base ortonormal (onde cada vetor tem comprimento 1), mas como o exercício só pede uma base ortogonal, não é necessário. Porém, se quiser, podemos normalizar cada vetor dividindo pelo seu comprimento.

Resposta

Uma base ortogonal para , (2, 1, 0, 1), (-1, 1, 0, 1), (0, 0, 1, 0), (0, 12, 0, -12) , que contém os vetores e é:

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