Calcular a distância entre as retas r e s nos seguintes casos:
(d) r:lx=1-t y=2+3 t z=t e eixo dos x. Resp: 2raiz10.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcularmos a distância entre uma reta r e o eixo dos x. Isso tá dentro da matéria de Geometria Analítica no espaço. Pra resolver, a gente vai precisar entender as equações paramétricas da reta e como calcular a distância entre duas retas no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as equações paramétricas da reta r que são dadas por:
x = 1 - t y = 2 + 3t z = t
O eixo dos x, por sua vez, tem as equações y = 0 e z = 0, e varia apenas com x.

Passo 3

Para encontrar a distância entre a reta r e o eixo dos x, usamos uma fórmula que relaciona os vetores diretores das retas e um vetor que liga um ponto de uma reta ao outro.
Primeiro, identificamos os vetores diretores:
  • Vetor diretor da reta r: v = (-1, 3, 1) (vindo dos coeficientes de t nas equações de x, y e z).
  • Vetor diretor do eixo dos x: u = (1, 0, 0) (já que só se move na direção de x).

Passo 4

Agora, vamos calcular o produto vetorial entre u e v:
u times v = i & j & k 1 & 0 & 0 -1 & 3 & 1 = (0 cdot 1 - 0 cdot 3)i - (1 cdot 1 - 0 cdot (-1))j + (1 cdot 3 - 0 cdot (-1))k = (0)i - (1)j + (3)k = (0, -1, 3)

Passo 5

Agora, precisamos de um vetor que liga um ponto da reta r a um ponto do eixo dos x. Vamos escolher t = 0 na reta r, o que dá o ponto P(1, 2, 0). No eixo dos x, um ponto fácil é a origem Q(0, 0, 0).
O vetor PQ é:
PQ = Q - P = (0 - 1, 0 - 2, 0 - 0) = (-1, -2, 0)

Passo 6

A fórmula para a distância d entre as duas retas é:
d = | PQ cdot (u times v) | || u times v ||
Vamos calcular o produto escalar PQ cdot (u times v):
PQ cdot (0, -1, 3) = (-1)(0) + (-2)(-1) + (0)(3) = 0 + 2 + 0 = 2
E a norma do produto vetorial:
|| u times v || = raiz0^2 + (-1)^2 + 3^2 = raiz0 + 1 + 9 = raiz10

Resposta

A distância entre a reta r e o eixo dos x é 2raiz10.

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