Calcular a distância entre as retas e nos seguintes casos:
(d) e eixo dos x. Resp: 2raiz10.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcularmos a distância entre uma reta r e o eixo dos x. Isso tá dentro da matéria de Geometria Analítica no espaço. Pra resolver, a gente vai precisar entender as equações paramétricas da reta e como calcular a distância entre duas retas no espaço.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as equações paramétricas da reta r que são dadas por:
x = 1 - t y = 2 + 3t z = t
O eixo dos x, por sua vez, tem as equações y = 0 e z = 0, e varia apenas com x.
Passo 3
Para encontrar a distância entre a reta r e o eixo dos x, usamos uma fórmula que relaciona os vetores diretores das retas e um vetor que liga um ponto de uma reta ao outro.
Primeiro, identificamos os vetores diretores:
Vetor diretor da reta r: v = (-1, 3, 1) (vindo dos coeficientes de t nas equações de x, y e z).
Vetor diretor do eixo dos x: u = (1, 0, 0) (já que só se move na direção de x).
Passo 4
Agora, vamos calcular o produto vetorial entre u e v:
Agora, precisamos de um vetor que liga um ponto da reta r a um ponto do eixo dos x. Vamos escolher t = 0 na reta r, o que dá o ponto P(1, 2, 0). No eixo dos x, um ponto fácil é a origem Q(0, 0, 0).
O vetor PQ é:
PQ = Q - P = (0 - 1, 0 - 2, 0 - 0) = (-1, -2, 0)
Passo 6
A fórmula para a distância d entre as duas retas é:
d = | PQ cdot (u times v) | || u times v ||
Vamos calcular o produto escalar PQ cdot (u times v):