Calcular a distância entre as retas r e s nos seguintes casos:
(a) r:ly=z x=0 e s:ly=3 z=2 x. Resp: 3raiz6.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular a distância entre duas retas no espaço. As retas são dadas em suas formas paramétricas:
  • Reta y = z x = 0 :
    y = 3 z = 2x
  • Reta :
Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica espacial, especificamente a fórmula para calcular a distância entre duas retas no espaço. Vamos precisar identificar vetores diretores e pontos nas retas para aplicar a fórmula corretamente.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores diretores das retas r(t) = (0, t, t) e s(t) = (t, 3, 2t) . O vetor diretor de uma reta indica sua direção no espaço.
  • Para a reta :
    A equação mostra que a reta está no plano . Como , podemos parametrizar a reta com um parâmetro :
    Então, o vetor diretor de é .
  • Para a reta :
    A equação pode ser parametrizada com :
    Então, o vetor diretor de é .

Passo 3

Agora, vamos identificar um ponto em cada reta para facilitar o cálculo da distância. Podemos escolher Pr = (0, 0, 0) para ambas as parametrizações:
  • Ponto em Ps = (0, 3, 0) : quando ,
  • Ponto em : quando ,

Passo 4

Com os vetores diretores D = |( Ps - Pr ) cdot ( dr times ds )||dr times ds| e Ps - Pr = (0 - 0, 3 - 0, 0 - 0) = (0, 3, 0) , e os pontos e , podemos usar a fórmula para a distância entre duas retas no espaço:
Vamos calcular o vetor :

Passo 5

Agora, vamos calcular o produto vetorial dr times ds = i & j & k 0 & 1 & 1 1 & 0 & 2 = i(1 cdot 2 - 1 cdot 0) - j(0 cdot 2 - 1 cdot 1) + k(0 cdot 0 - 1 cdot 1) :
= 2i + j - k = (2, 1, -1)

Passo 6

Agora, vamos calcular o produto escalar (0, 3, 0) cdot (2, 1, -1) = 0 cdot 2 + 3 cdot 1 + 0 cdot (-1) = 3 :
O valor absoluto desse produto escalar é .

Passo 7

Em seguida, vamos calcular o módulo do vetor |dr times ds| = raiz2^2 + 1^2 + (-1)^2 = raiz4 + 1 + 1 = raiz6 :

Passo 8

Finalmente, aplicando a fórmula da distância:
D = 3raiz6 = 3raiz6 cdot raiz6raiz6 = 3raiz66 = raiz62
Mas como a resposta pedida é , mantemos essa forma para coincidir com o enunciado.

Resposta

A distância entre as retas e é .

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