Calcular a soma dos comprimentos das medianas do triângulo equilátero de vértices A(3,3), B(-3,-3) e C(-3 raiz3, 3 raiz3).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a soma dos comprimentos das medianas de um triângulo equilátero com os vértices nos pontos , e . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre coordenadas de pontos, cálculo de distâncias e propriedades das medianas em triângulos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o comprimento de cada lado do triângulo. Para isso, usamos a fórmula da distância entre dois pontos no plano:
d = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2
Vamos calcular a distância entre e , entre e , e entre e .

Passo 3

Calculando a distância entre dAB = raiz(-3 - 3)^2 + (-3 - 3)^2 = raiz(-6)^2 + (-6)^2 = raiz36 + 36 = raiz72 = 6raiz2 e :

Passo 4

Calculando a distância entre dAC = raiz(-3raiz3 - 3)^2 + (3raiz3 - 3)^2 e -3raiz3 - 3 = -3(raiz3 + 1), 3raiz3 - 3 = 3(raiz3 - 1) :
dAC = raiz[ -3(raiz3 + 1) ]^2 + [ 3(raiz3 - 1) ]^2 = raiz9(raiz3 + 1)^2 + 9(raiz3 - 1)^2
Vamos simplificar:
(raiz3 + 1)^2 = 3 + 2raiz3 + 1 = 4 + 2raiz3
Então,
(raiz3 - 1)^2 = 3 - 2raiz3 + 1 = 4 - 2raiz3
Calculando os quadrados:
dAC = raiz9(4 + 2raiz3) + 9(4 - 2raiz3) = raiz36 + 18raiz3 + 36 - 18raiz3 = raiz72 = 6raiz2
Então,

Passo 5

Calculando a distância entre dBC = raiz(-3raiz3 + 3)^2 + (3raiz3 + 3)^2 e -3raiz3 + 3 = 3(-raiz3 + 1), 3raiz3 + 3 = 3(raiz3 + 1) :
dBC = raiz[3(-raiz3 + 1)]^2 + [3(raiz3 + 1)]^2 = raiz9(-raiz3 + 1)^2 + 9(raiz3 + 1)^2
Simplificando:
(-raiz3 + 1)^2 = 3 - 2raiz3 + 1 = 4 - 2raiz3
Então,
(raiz3 + 1)^2 = 3 + 2raiz3 + 1 = 4 + 2raiz3
Calculando os quadrados:
dBC = raiz9(4 - 2raiz3) + 9(4 + 2raiz3) = raiz36 - 18raiz3 + 36 + 18raiz3 = raiz72 = 6raiz2
Então,

Passo 6

Agora que sabemos que todos os lados , e têm comprimento , podemos prosseguir para encontrar as medianas. Em um triângulo, a mediana é o segmento de reta que vai de um vértice até o ponto médio do lado oposto.

Passo 7

Vamos encontrar o ponto médio de cada lado:
  • Ponto médio de MA = ( -3 + (-3raiz3)2, -3 + 3raiz32 ) = ( -3(1 + raiz3)2, 3(raiz3 - 1)2 ) :
MB = ( 3 + (-3raiz3)2, 3 + 3raiz32 ) = ( 3(-raiz3 + 1)2, 3(1 + raiz3)2 )
  • Ponto médio de MC = ( 3 + (-3)2, 3 + (-3)2 ) = (0, 0) :
  • Ponto médio de :

Passo 8

Agora, vamos calcular o comprimento de cada mediana usando a fórmula da distância entre dois pontos.
  • Mediana de dAMA = raiz( -3(1 + raiz3)2 - 3 )^2 + ( 3(raiz3 - 1)2 - 3 )^2 até = raiz( -3 - 3raiz3 - 62 )^2 + ( 3raiz3 - 3 - 62 )^2 = raiz( -9 - 3raiz32 )^2 + ( 3raiz3 - 92 )^2 :
= raiz( -9 - 3raiz3 )^2 + ( 3raiz3 - 9 )^24 = raiz81 + 54raiz3 + 27 + 27 + 54raiz3 + 814 = raiz216 + 108raiz34 = raiz54 + 27raiz3 = 3raiz6 + 3raiz3
Simplificando:
Calculando os quadrados:
Esse cálculo é complexo, mas como o triângulo é equilátero, todas as medianas têm o mesmo comprimento.

Passo 9

Em um triângulo equilátero, cada mediana também é uma altura e tem comprimento igual a:
m = raiz32 times lado
Já sabemos que cada lado mede m = raiz32 times 6raiz2 = 3raiz6 , então:

Passo 10

Como todas as três medianas têm o mesmo comprimento, a soma dos comprimentos das medianas é:
Soma das medianas = 3 times 3raiz6 = 9raiz6

Resposta

A soma dos comprimentos das medianas do triângulo é unidades.

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