Calcular a soma dos comprimentos das medianas do triângulo equilátero de vértices e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a soma dos comprimentos das medianas de um triângulo equilátero com os vértices nos pontos , e . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre coordenadas de pontos, cálculo de distâncias e propriedades das medianas em triângulos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o comprimento de cada lado do triângulo. Para isso, usamos a fórmula da distância entre dois pontos no plano:
Vamos calcular a distância entre e , entre e , e entre e .
Passo 3
Calculando a distância entre e :
Passo 4
Calculando a distância entre e :
Vamos simplificar:
Então,
Calculando os quadrados:
Então,
Passo 5
Calculando a distância entre e :
Simplificando:
Então,
Calculando os quadrados:
Então,
Passo 6
Agora que sabemos que todos os lados , e têm comprimento , podemos prosseguir para encontrar as medianas. Em um triângulo, a mediana é o segmento de reta que vai de um vértice até o ponto médio do lado oposto.
Passo 7
Vamos encontrar o ponto médio de cada lado:
Ponto médio de :
Ponto médio de :
Ponto médio de :
Passo 8
Agora, vamos calcular o comprimento de cada mediana usando a fórmula da distância entre dois pontos.
Mediana de até :
Simplificando:
Calculando os quadrados:
Esse cálculo é complexo, mas como o triângulo é equilátero, todas as medianas têm o mesmo comprimento.
Passo 9
Em um triângulo equilátero, cada mediana também é uma altura e tem comprimento igual a:
m = raiz32 times lado
Já sabemos que cada lado mede m = raiz32 times 6raiz2 = 3raiz6 , então:
Passo 10
Como todas as três medianas têm o mesmo comprimento, a soma dos comprimentos das medianas é:
Soma das medianas = 3 times 3raiz6 = 9raiz6
Resposta
A soma dos comprimentos das medianas do triângulo é unidades.