Verifique se o vetor (4,-4,1,-2) in R^4 é uma combinação linear dos vetores
(1,0,1,-1),(2,3,1,2) e (-1,7,1,3)
Em caso positivo, escreva o vetor (4,-4,1,-2) como uma tal combinação linear. Em caso negativo, justifique sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para verificar se o vetor em pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores , e . Para isso, vamos usar o conceito de combinações lineares e resolver um sistema de equações.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa combinação linear. Dizemos que um vetor v = au1 + bu2 + cu3 é uma combinação linear dos vetores (4, -4, 1, -2) = a(1, 0, 1, -1) + b(2, 3, 1, 2) + c(-1, 7, 1, 3) se existirem escalares , e tais que:
No nosso caso, queremos encontrar , e tais que:

Passo 3

Vamos expandir a combinação linear:
(4, -4, 1, -2) = (a cdot 1 + b cdot 2 + c cdot (-1), a cdot 0 + b cdot 3 + c cdot 7, a cdot 1 + b cdot 1 + c cdot 1, a cdot (-1) + b cdot 2 + c cdot 3)
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
a + 2b - c = 4 0a + 3b + 7c = -4 a + b + c = 1 - a + 2b + 3c = -2

Passo 4

Agora, vamos resolver esse sistema de equações para encontrar os valores de a + 2b - c = 4 Rightarrow a = 4 - 2b + c , e . Vamos usar o método de substituição.
Primeira equação:

Passo 5

Substituímos (4 - 2b + c) + b + c = 1 4 - 2b + c + b + c = 1 4 - b + 2c = 1 - b + 2c = -3 Rightarrow b = 2c + 3 na terceira equação:

Passo 6

Agora, substituímos - (4 - 2b + c) + 2b + 3c = -2 -4 + 2b - c + 2b + 3c = -2 -4 + 4b + 2c = -2 4b + 2c = 2 e 2b + c = 1 Rightarrow c = 1 - 2b na quarta equação:
c = 1 - 2(2c + 3) c = 1 - 4c - 6 c + 4c = -5 5c = -5 c = -1
Dividindo por 2:
Mas já sabemos que , então substituímos :

Passo 7

Com b = 2(-1) + 3 = -2 + 3 = 1 , encontramos a = 4 - 2(1) + (-1) = 4 - 2 - 1 = 1 :
E com e , encontramos :

Resposta

Sim, o vetor (4, -4, 1, -2) = 1 cdot (1, 0, 1, -1) + 1 cdot (2, 3, 1, 2) + (-1) cdot (-1, 7, 1, 3) é uma combinação linear dos vetores dados. Ele pode ser escrito como:

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