Um triângulo equilátero tem vértices
e
. Calcular o vértice
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um triângulo equilátero com os vértices
e
, e precisamos encontrar as coordenadas do vértice
. Isso envolve geometria, especificamente as propriedades dos triângulos equiláteros. Vamos precisar da fórmula da distância entre dois pontos para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em um triângulo equilátero todos os lados têm o mesmo comprimento. Então, a distância entre
e
deve ser igual à distância entre
e
, e também igual à distância entre
e
.
Passo 3
Vamos calcular a distância entre
e
usando a fórmula da distância:
Substituindo os valores:
Então,
.
Passo 4
Agora, sabemos que a distância entre
e
(
) também deve ser igual a
. Vamos usar a fórmula da distância para
e
:
Para simplificar, podemos elevar ambos os lados ao quadrado:
Passo 5
Fazendo o mesmo para a distância entre
e
(
):
Elevando ao quadrado:
Passo 6
Agora temos um sistema de duas equações:
Vamos expandir as equações:
Passo 7
Vamos subtrair a segunda equação da primeira para eliminar
e
:
Simplificando:
Dividindo toda a equação por -4:
Passo 8
Agora, podemos expressar
em termos de
:
Passo 9
Vamos substituir
na segunda equação original:
Expandindo:
Simplificando:
Passo 10
Dividindo a equação por 5 para simplificar:
Usando a fórmula de Bhaskara para resolver a equação quadrática:
Então,
ou
.
Passo 11
Agora, vamos encontrar os valores correspondentes de
usando
:
Para
:
Para
:
Resposta
Portanto, o vértice
pode ser
ou
.