Um triângulo equilátero tem vértices A(x, y), B(3,1) e C(-1,-1). Calcular o vértice A.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um triângulo equilátero com os vértices B(3,1) e C(-1,-1), e precisamos encontrar as coordenadas do vértice A(x, y). Isso envolve geometria, especificamente as propriedades dos triângulos equiláteros. Vamos precisar da fórmula da distância entre dois pontos para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em um triângulo equilátero todos os lados têm o mesmo comprimento. Então, a distância entre A e B deve ser igual à distância entre A e C, e também igual à distância entre B e C.

Passo 3

Vamos calcular a distância entre B(3,1) e C(-1,-1) usando a fórmula da distância:
dBC = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2
Substituindo os valores:
dBC = raiz(-1 - 3)^2 + (-1 - 1)^2 = raiz(-4)^2 + (-2)^2 = raiz16 + 4 = raiz20
Então, dBC = raiz20.

Passo 4

Agora, sabemos que a distância entre A e B ( dAB) também deve ser igual a raiz20. Vamos usar a fórmula da distância para A(x, y) e B(3,1):
dAB = raiz(3 - x)^2 + (1 - y)^2 = raiz20
Para simplificar, podemos elevar ambos os lados ao quadrado:
(3 - x)^2 + (1 - y)^2 = 20

Passo 5

Fazendo o mesmo para a distância entre A e C ( dAC):
dAC = raiz(-1 - x)^2 + (-1 - y)^2 = raiz20
Elevando ao quadrado:
(-1 - x)^2 + (-1 - y)^2 = 20

Passo 6

Agora temos um sistema de duas equações:
  1. (3 - x)^2 + (1 - y)^2 = 20
  2. (-1 - x)^2 + (-1 - y)^2 = 20
Vamos expandir as equações:
  1. (9 - 6x + x^2) + (1 - 2y + y^2) = 20
    x^2 - 6x + y^2 - 2y + 10 = 20
    x^2 - 6x + y^2 - 2y = 10
  2. (1 + 2x + x^2) + (1 + 2y + y^2) = 20
    x^2 + 2x + y^2 + 2y + 2 = 20
    x^2 + 2x + y^2 + 2y = 18

Passo 7

Vamos subtrair a segunda equação da primeira para eliminar x^2 e y^2:
(x^2 - 6x + y^2 - 2y) - (x^2 + 2x + y^2 + 2y) = 10 - 18
Simplificando:
-8x - 4y = -8
Dividindo toda a equação por -4:
2x + y = 2

Passo 8

Agora, podemos expressar y em termos de x:
y = 2 - 2x

Passo 9

Vamos substituir y = 2 - 2x na segunda equação original:
x^2 + 2x + (2 - 2x)^2 + 2(2 - 2x) = 18
Expandindo:
x^2 + 2x + (4 - 8x + 4x^2) + (4 - 4x) = 18
Simplificando:
5x^2 - 10x + 8 = 18
5x^2 - 10x - 10 = 0

Passo 10

Dividindo a equação por 5 para simplificar:
x^2 - 2x - 2 = 0
Usando a fórmula de Bhaskara para resolver a equação quadrática:
x = 2 pm raiz(-2)^2 - 4 cdot 1 cdot (-2)2 cdot 1 = 2 pm raiz4 + 82 = 2 pm raiz122 = 2 pm 2raiz32 = 1 pm raiz3
Então, x = 1 + raiz3 ou x = 1 - raiz3.

Passo 11

Agora, vamos encontrar os valores correspondentes de y usando y = 2 - 2x:
Para x = 1 + raiz3:
y = 2 - 2(1 + raiz3) = 2 - 2 - 2raiz3 = -2raiz3
Para x = 1 - raiz3:
y = 2 - 2(1 - raiz3) = 2 - 2 + 2raiz3 = 2raiz3

Resposta

Portanto, o vértice A pode ser (1 + raiz3, -2raiz3) ou (1 - raiz3, 2raiz3).

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