Calcular a equação da reta tangente e da reta normal ao gráfico de no ponto p. Faça o gráfico mostrando as retas no Excel.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as equações da reta tangente e da reta normal ao gráfico da função no ponto . Para isso, vamos usar conhecimentos de cálculo, especificamente derivadas, porque elas nos ajudam a determinar a inclinação das retas tangente e normal.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o ponto no qual queremos encontrar as retas. Como , substituímos na função:
Então, o ponto de tangência é .
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada da função para determinar a inclinação da reta tangente. A derivada de é:
Substituindo :
Então, a inclinação da reta tangente é .
Passo 4
Com a inclinação da reta tangente e o ponto , podemos usar a equação da reta:
Onde é a inclinação e é o ponto. Substituindo:
Simplificando:
Essa é a equação da reta tangente.
Passo 5
A reta normal é perpendicular à reta tangente. A inclinação de duas retas perpendiculares multiplicadas dá . Então, se a inclinação da tangente é , a da normal será:
Usando novamente a equação da reta com o ponto :
Simplificando:
Essa é a equação da reta normal.
Resposta
A equação da reta tangente ao gráfico de no ponto é e a equação da reta normal é . Você pode plotar essas retas no Excel junto com o gráfico de para visualizar a tangente e a normal no ponto .