Expresse a integral dupla sobre a região indicada, como uma integral iterada, e ache seu valor. ; na região triangular de vértices .
Passo 1
Beleza, vamos resolver uma integral dupla sobre uma região triangular específica. Nosso objetivo é calcular , onde é o triângulo com vértices em , e . Para isso, vamos precisar entender como transformar essa integral dupla em uma integral iterada, ou seja, uma integral que é feita em etapas, integrando primeiro em relação a uma variável e depois à outra. Isso envolve entender os limites de integração para e dentro da região .
Passo 2
Primeiro, vamos desenhar a região para visualizar melhor. Temos os vértices em , e . Isso forma um triângulo onde a base está no eixo , de a , e o vértice superior está em , .
Passo 3
Agora, precisamos determinar as equações das retas que formam os lados do triângulo. Entre e , a reta é horizontal, então . Entre e , a reta é vertical, então . E entre e , podemos encontrar a equação da reta.
Passo 4
Para encontrar a equação da reta entre e , usamos a f��rmula da inclinação:
Então, a equação da reta é . Substituindo :
Portanto, a equação da reta é .
Passo 5
Agora, vamos expressar a integral dupla como uma integral iterada. Podemos integrar de até e de a . Então, temos:
Isso nos permite calcular a integral em duas etapas: primeiro em relação a e depois em relação a .