(a) u & =2 x-y v & =x+4 y
(b) u & =3 x+2 y v & =x-y
© u & =e^x-y v & =x+5 y
(d) lx=r cos theta y=r sen theta
(e) lu=2 x+y v=2 y-z w=3 x
(f) lu=x cos y-z v=x sen y+2 z w=x^2+y^2
(g) lx=r cos theta y=r sen theta z=z
(h) lx=rho sen varphi cos theta y=rho sen varphi sen theta z=rho cos varphi

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui! O exercício é a parte (a), que apresenta um sistema de equações:
u &= 2x - y v &= x + 4y
Conteúdo envolvido: Estamos lidando com sistemas lineares de duas equações com duas incógnitas. Para resolver, vamos precisar usar métodos de substituição ou eliminação para encontrar os valores de e em termos de e .

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever as equações para facilitar o trabalho. Temos:
u = 2x - y (1) v = x + 4y (2)
Vamos tentar isolar uma das variáveis em uma das equações. Vamos optar por isolar v = x + 4y Rightarrow x = v - 4y (3) na equação (2).
Isolando na equação (2):

Passo 3

Agora que temos u = 2x - y u = 2(v - 4y) - y u = 2v - 8y - y u = 2v - 9y em termos de u = 2v - 9y Rightarrow 9y = 2v - u Rightarrow y = 2v - u9 (4) e , vamos substituir essa expressão na equação (1) para encontrar .
Substituindo na equação (1):
Agora, vamos resolver para :

Passo 4

Agora que temos x = v - 4y x = v - 4(2v - u9) x = v - 8v - 4u9 em termos de x = 9v9 - 8v - 4u9 x = 9v - 8v + 4u9 x = v + 4u9 (5) e , podemos substituir esse valor na expressão que encontramos para na equação (3).
Substituindo na equação (3):
Para simplificar, vamos transformar em uma fração com denominador 9:

Passo 5

Agora, resumindo o que encontramos:
x = v + 4u9 y = 2v - u9

Resposta

A solução do sistema é:
x = v + 4u9 e y = 2v - u9

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