Vamos resolver o exercício que pede para calcular as derivadas parciais e no ponto específico , , , e . Para isso, vamos usar o conhecimento de derivadas parciais e o método de diferenciação implícita, já que temos um sistema de equações envolvendo várias variáveis.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que temos três equações que relacionam as variáveis , , , e . Essas equações são chamadas de equações implícitas porque não estão resolvidas para uma variável isoladamente. Para encontrar as derivadas parciais desejadas, vamos diferenciar cada uma dessas equações em relação a e .
Passo 3
Vamos começar diferenciando a primeira equação em relação a :
Aplicando a regra da cadeia, temos:
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos diferenciar a segunda equação em relação a :
Aplicando a regra da cadeia:
Passo 5
Por fim, diferenciamos a terceira equação em relação a :
Aplicando a regra da cadeia:
Passo 6
Agora, substituímos os valores do ponto dado: , , , , . Com esses valores, algumas das expressões se simplificam:
Substituindo na equação do Passo 3:
Passo 7
Agora, usando na equação do Passo 5:
Passo 8
Voltando à equação do Passo 4 com os valores substituídos:
Então, da equação do Passo 7:
Passo 9
Agora, para calcular , vamos repetir o processo diferenciando as equações em relação a . Diferenciando a primeira equação em relação a :
Substituindo os valores:
Passo 10
Diferenciando a segunda equação em relação a :
Substituindo os valores:
Como :
Passo 11
Por fim, diferenciando a terceira equação em relação a :