ll x^2-y cos (u v)+z^2=0 & (F=0) x^2+y^2-sen(u v)+2 z^2-2=0 & (G=0) x y-sen u cos v+z=0 & (H=0)
Calcule partial xpartial u e partial ypartial v no ponto de coordenadas x=1, y=1, z=0, u=pi / 2 e v=0.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular as derivadas parciais partial xpartial u e partial ypartial v no ponto específico x=1, y=1, z=0, u=pi/2 e v=0. Para isso, vamos usar o conhecimento de derivadas parciais e o método de diferenciação implícita, já que temos um sistema de equações envolvendo várias variáveis.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que temos três equações que relacionam as variáveis x, y, z, u e v. Essas equações são chamadas de equações implícitas porque não estão resolvidas para uma variável isoladamente. Para encontrar as derivadas parciais desejadas, vamos diferenciar cada uma dessas equações em relação a u e v.

Passo 3

Vamos começar diferenciando a primeira equação F=0 em relação a u:
partialpartial u(x^2 - y cos(u v) + z^2) = 0
Aplicando a regra da cadeia, temos:
2x partial xpartial u - y (-sin(u v) cdot v) + 2z partial zpartial u = 0
Simplificando:
2x partial xpartial u + y v sin(u v) + 2z partial zpartial u = 0

Passo 4

Agora, vamos diferenciar a segunda equação G=0 em relação a u:
partialpartial u(x^2 + y^2 - sin(u v) + 2 z^2 - 2) = 0
Aplicando a regra da cadeia:
2x partial xpartial u + 2y partial ypartial u - cos(u v) cdot v + 4z partial zpartial u = 0

Passo 5

Por fim, diferenciamos a terceira equação H=0 em relação a u:
partialpartial u(x y - sin u cos v + z) = 0
Aplicando a regra da cadeia:
y partial xpartial u + x partial ypartial u - cos u cos v + partial zpartial u = 0

Passo 6

Agora, substituímos os valores do ponto dado: x=1, y=1, z=0, u=pi/2, v=0. Com esses valores, algumas das expressões se simplificam:
  • sin(pi/2 cdot 0) = sin(0) = 0
  • cos(pi/2 cdot 0) = cos(0) = 1
  • cos(pi/2) = 0
Substituindo na equação do Passo 3:
2(1) partial xpartial u + (1)(0)(0) + 2(0) partial zpartial u = 0 2 partial xpartial u = 0 partial xpartial u = 0

Passo 7

Agora, usando partial xpartial u = 0 na equação do Passo 5:
(1)(0) + (1) partial ypartial u - (0)(1) + partial zpartial u = 0 partial ypartial u + partial zpartial u = 0

Passo 8

Voltando à equação do Passo 4 com os valores substituídos:
2(1)(0) + 2(1) partial ypartial u - (1)(0) + 4(0) partial zpartial u = 0 2 partial ypartial u = 0 partial ypartial u = 0
Então, da equação do Passo 7:
0 + partial zpartial u = 0 partial zpartial u = 0

Passo 9

Agora, para calcular partial ypartial v, vamos repetir o processo diferenciando as equações em relação a v. Diferenciando a primeira equação F=0 em relação a v:
2x partial xpartial v - y (-sin(u v) cdot u) + 2z partial zpartial v = 0
Substituindo os valores:
2(1) partial xpartial v + (1)(u)(0) + 2(0) partial zpartial v = 0 2 partial xpartial v = 0 partial xpartial v = 0

Passo 10

Diferenciando a segunda equação G=0 em relação a v:
2x partial xpartial v + 2y partial ypartial v - cos(u v) cdot u + 4z partial zpartial v = 0
Substituindo os valores:
2(1)(0) + 2(1) partial ypartial v - (1)(u) + 4(0) partial zpartial v = 0 2 partial ypartial v - u = 0 2 partial ypartial v = u partial ypartial v = u2
Como u = pi/2:
partial ypartial v = pi4

Passo 11

Por fim, diferenciando a terceira equação H=0 em relação a v:
y partial xpartial v + x partial ypartial v - cos u (-sin v) + partial zpartial v = 0
Substituindo os valores:
(1)(0) + (1)(pi4) - (0)(0) + partial zpartial v = 0 pi4 + partial zpartial v = 0 partial zpartial v = -pi4

Resposta

No ponto x=1, y=1, z=0, u=pi/2 e v=0, temos:
partial xpartial u = 0 e partial ypartial v = pi4

Exercícios relacionados

Calcular a equação da reta tangente e da reta normal ao gráfico de f no ponto p. Faça o gráfico mostrando as retas no Excel.
y = raiz(x), p = 4
(a) u & =2 x-y v & =x+4 y
(b) u & =3 x+2 y v & =x-y
© u & =e^x-y v & =x+5 y
(d) lx=r cos theta y=r sen theta
(e) lu=2 x+y v=2 y-z w=3 x
(f) lu=x cos y-z v=x sen y+2 z w=x^2+y^2
(g) lx=r cos theta y=r sen theta z=z
(h) lx=rho sen varphi cos theta y=rho sen varphi sen theta z=rho cos varphi
(a) Calcule o jacobiano da transformação T e de sua inversa.
(b) Calcule as derivadas partial xpartial u e partial ypartial v, no ponto em que x=0 e y=1.
Esboce a região limitada pelas curvas indicadas e encontre sua área:
x = 2y^2 ; x + y = 1