Calcular a equação da reta tangente e da reta normal ao gráfico de
no ponto p. Faça o gráfico mostrando as retas no Excel.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação da reta tangente e da reta normal ao gráfico da função
no ponto onde
. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas para achar a inclinação das retas e, em seguida, montar as equações delas. Além disso, vou te orientar sobre como fazer o gráfico no Excel no final.
Passo 2
Primeiro, precisamos achar o ponto
no gráfico da função quando
. Para isso, substituímos
na função:
Então, o ponto
é
.
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada da função
, que nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da curva. A derivada de
é:
Passo 4
Para encontrar a inclinação da reta tangente no ponto
, substituímos
na derivada:
Então, a inclinação da reta tangente é
.
Passo 5
Com a inclinação da reta tangente e o ponto
, podemos montar a equação da reta usando a fórmula da reta:
Substituindo os valores:
Portanto, a equação da reta tangente é
.
Passo 6
A reta normal é perpendicular à reta tangente. Sabemos que o produto das inclinações de retas perpendiculares é
. Como a inclinação da reta tangente é
, a inclinação da reta normal será indefinida, ou seja, uma reta vertical.
Passo 7
Uma reta vertical que passa pelo ponto
tem a equação:
Então, a equação da reta normal é
.
Passo 8
Para fazer o gráfico no Excel:
- Insira valores de
próximos a (por exemplo, de a ). - Calcule
usando a função . - Crie um gráfico de dispersão com esses pontos.
- Adicione as linhas
e no gráfico para representar a reta tangente e a reta normal, respectivamente.
Resposta
A equação da reta tangente ao gráfico de
no ponto
é
e a equação da reta normal é
.
Exercícios relacionados
Esboce a região
delimitada pelos gráficos das equações dadas. Se
é uma função contínua arbitrária, expresse
como uma integral iterada com
e com
.
Esboce a região
delimitada pelos gráficos das equações dadas. Se
é uma função contínua arbitrária, expresse
como uma integral iterada com
e com
.
- Verifique a aplicabilidade do Teorema da Função Implícita e calcule
e .
(a)
(b)
©
(d).
Esboce a região
delimitada pelos gráficos das equações dadas. Se
é uma função contínua arbitrária, expresse
como uma integral iterada com
e com
.