Calcular a equação da reta tangente e da reta normal ao gráfico de f no ponto p. Faça o gráfico mostrando as retas no Excel.
y = x^2 + 2x + 1, p = -1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação da reta tangente e da reta normal ao gráfico da função no ponto onde . Para isso, vamos usar conceitos de derivadas para achar a inclinação das retas e, em seguida, montar as equações delas. Além disso, vou te orientar sobre como fazer o gráfico no Excel no final.

Passo 2

Primeiro, precisamos achar o ponto no gráfico da função quando . Para isso, substituímos na função:
Então, o ponto é .

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada da função , que nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da curva. A derivada de é:

Passo 4

Para encontrar a inclinação da reta tangente no ponto , substituímos na derivada:
Então, a inclinação da reta tangente é .

Passo 5

Com a inclinação da reta tangente e o ponto , podemos montar a equação da reta usando a fórmula da reta:
Substituindo os valores:
Portanto, a equação da reta tangente é .

Passo 6

A reta normal é perpendicular à reta tangente. Sabemos que o produto das inclinações de retas perpendiculares é . Como a inclinação da reta tangente é , a inclinação da reta normal será indefinida, ou seja, uma reta vertical.

Passo 7

Uma reta vertical que passa pelo ponto tem a equação:
Então, a equação da reta normal é .

Passo 8

Para fazer o gráfico no Excel:
  1. Insira valores de próximos a (por exemplo, de a ).
  2. Calcule usando a função .
  3. Crie um gráfico de dispersão com esses pontos.
  4. Adicione as linhas e no gráfico para representar a reta tangente e a reta normal, respectivamente.

Resposta

A equação da reta tangente ao gráfico de no ponto é e a equação da reta normal é .

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