Esboce a região delimitada pelos gráficos das equações dadas. Se é uma função contínua arbitrária, expresse como uma integral iterada com e com .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente desenhar a região que é definida pelas equações , e . Além disso, precisamos expressar a integral dupla como uma integral iterada, primeiro com e depois com . Isso envolve conceitos de cálculo de integrais duplas e como definir os limites de integração para a região que estamos estudando.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região . Temos a curva , a reta vertical (que é o eixo y) e a reta horizontal . Vamos encontrar os pontos de interseção dessas curvas para saber os limites da nossa região.
Passo 3
Para encontrar a interseção de e , igualamos as duas equações:
Então, as curvas se intersectam no ponto .
Passo 4
Agora, vamos esboçar a região . A curva começa na origem e sobe até . A reta é o eixo y, e a reta corta a curva no ponto . Assim, a região está limitada entre e , e entre e .
Passo 5
Vamos expressar a integral dupla como uma integral iterada com . Para isso, primeiro fixamos y e depois x. Os limites para y vão de até . Para cada y, x varia de até . Assim, a integral fica:
Passo 6
Agora, vamos expressar a integral dupla como uma integral iterada com . Aqui, fixamos x primeiro e depois y. Os limites para x vão de até . Para cada x, y varia de até . Assim, a integral fica: