Esboce a região R delimitada pelos gráficos das equações dadas. Se f(x, y) é uma função contínua arbitrária, expresse integral duplaR f(x, y) d A como uma integral iterada com d x d y e com d y d x.
y=raizx, x=0, y=2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente desenhar a região limitada pelas curvas , e . Além disso, precisamos expressar a integral dupla como uma integral iterada nas duas ordens possíveis: e . Para resolver isso, vamos precisar entender como determinar os limites de integração e como organizar as integrais iteradas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender quais são as curvas que delimitam a região :
  1. : Essa é uma parábola que abre para a direita.
  2. : É o eixo .
  3. : É uma linha horizontal.
Vamos esboçar essas curvas para visualizar melhor a região .

Passo 3

Ao esboçar as curvas, percebemos que 2 = raizx implies x = 4 intercepta quando:
Então, os limites de vão de 0 a 4, já que é uma das fronteiras.

Passo 4

Agora, vamos determinar os limites da integral iterada em ordem integral duplaR f(x, y) , dA = integral0^4 ( integralraizx^2 f(x, y) , dy ) dx . Para isso, fixamos um valor de entre 0 e 4, e para cada , varia de até 2. Portanto, a integral fica:

Passo 5

Para expressar a integral na ordem integral duplaR f(x, y) , dA = integral0^2 ( integral0^y^2 f(x, y) , dx ) dy , precisamos inverter o processo. Agora, fixamos um valor de entre 0 e 2. Para cada , varia de 0 até (já que ). Assim, a integral fica:

Resposta

A integral dupla sobre a região integral duplaR f(x, y) , dA = integral0^4 ( integralraizx^2 f(x, y) , dy ) dx pode ser expressa como:
integral duplaR f(x, y) , dA = integral0^2 ( integral0^y^2 f(x, y) , dx ) dy
e também como:

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