Esboce a região
delimitada pelos gráficos das equações dadas. Se
é uma função contínua arbitrária, expresse
como uma integral iterada com
e com
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente desenhar a região
limitada pelas curvas
,
e
. Além disso, precisamos expressar a integral dupla
como uma integral iterada nas duas ordens possíveis:
e
. Para resolver isso, vamos precisar entender como determinar os limites de integração e como organizar as integrais iteradas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender quais são as curvas que delimitam a região
:
-
: Essa é uma parábola que abre para a direita. -
: É o eixo . -
: É uma linha horizontal.
Vamos esboçar essas curvas para visualizar melhor a região
.
Passo 3
Ao esboçar as curvas, percebemos que
intercepta
quando:
Então, os limites de
vão de 0 a 4, já que
é uma das fronteiras.
Passo 4
Agora, vamos determinar os limites da integral iterada em ordem
. Para isso, fixamos um valor de
entre 0 e 4, e para cada
,
varia de
até 2. Portanto, a integral fica:
Passo 5
Para expressar a integral na ordem
, precisamos inverter o processo. Agora, fixamos um valor de
entre 0 e 2. Para cada
,
varia de 0 até
(já que
). Assim, a integral fica:
Resposta
A integral dupla sobre a região
pode ser expressa como:
e também como:
Exercícios relacionados
Calcule as integrais iteradas.
11a)
Esboce a região
delimitada pelos gráficos das equações dadas. Se
é uma função contínua arbitrária, expresse
como uma integral iterada com
e com
.
Calcular a equação da reta tangente e da reta normal ao gráfico de
no ponto p. Faça o gráfico mostrando as retas no Excel.