Esboce a região
delimitada pelos gráficos das equações dadas. Se
é uma função contínua arbitrária, expresse
como uma integral iterada com
e com
.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a gente tem aqui. A questão pede para a gente desenhar a região
que é delimitada pelas curvas das equações
e
. Além disso, precisamos transformar a integral dupla
em integrais iteradas, tanto na ordem
quanto na ordem
.
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre gráficos de funções, áreas delimitadas por curvas e como transformar integrais duplas em integrais iteradas usando limites de integração apropriados.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as equações que delimitam a região
. A equação
representa a parte superior de um círculo de raio 1 centrado na origem, porque se elevamos ambos os lados ao quadrado, temos
ou
. Já a equação
é o eixo
.
Então, a região
é a parte do círculo que está acima do eixo
.
Passo 3
Agora, vamos esboçar essa região. Imagine um círculo de raio 1 centrado na origem. A equação
nos dá a semicircunferência superior desse círculo. A linha
é simplesmente o eixo
.
Portanto, a região
é o semicírculo superior do círculo de raio 1. Ela está limitada por
variando de -1 a 1 e
variando de 0 até
.
Passo 4
Agora que temos a região
bem entendida, vamos passar para a integral dupla
. Queremos expressar essa integral como uma integral iterada, ou seja, uma integral dentro de outra, em duas ordens diferentes: primeiro
e depois
.
Para isso, precisamos determinar os limites de integração para cada ordem.
Passo 5
Primeiro, vamos expressar a integral na ordem
. Isso significa que para cada valor de
,
varia de 0 até
. E
varia de -1 a 1.
Então, a integral iterada fica:
Passo 6
Agora, vamos expressar a integral na ordem
. Para isso, precisamos ver como
varia para cada valor de
.
Sabemos que
pode ser reescrita como
. Portanto, para um dado
,
varia de
a
. E
varia de 0 a 1.
Assim, a integral iterada fica:
Resposta
A integral dupla
pode ser expressa como:
e também como:
Exercícios relacionados
Esboce a região
delimitada pelos gráficos das equações dadas. Se
é uma função contínua arbitrária, expresse
como uma integral iterada com
e com
.
Calcule as integrais iteradas.
Calcular a equação da reta tangente e da reta normal ao gráfico de
no ponto p. Faça o gráfico mostrando as retas no Excel.
- Verifique a aplicabilidade do Teorema da Função Implícita e calcule
e .
(a)
(b)
©
(d).