Esboce a região R delimitada pelos gráficos das equações dadas. Se f(x, y) é uma função contínua arbitrária, expresse integral duplaR f(x, y) d A como uma integral iterada com d x d y e com d y d x.
y=raiz1-x^2, y=0

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a gente tem aqui. A questão pede para a gente desenhar a região que é delimitada pelas curvas das equações e . Além disso, precisamos transformar a integral dupla em integrais iteradas, tanto na ordem quanto na ordem .
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre gráficos de funções, áreas delimitadas por curvas e como transformar integrais duplas em integrais iteradas usando limites de integração apropriados.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as equações que delimitam a região . A equação representa a parte superior de um círculo de raio 1 centrado na origem, porque se elevamos ambos os lados ao quadrado, temos ou . Já a equação é o eixo .
Então, a região é a parte do círculo que está acima do eixo .

Passo 3

Agora, vamos esboçar essa região. Imagine um círculo de raio 1 centrado na origem. A equação nos dá a semicircunferência superior desse círculo. A linha é simplesmente o eixo .
Portanto, a região é o semicírculo superior do círculo de raio 1. Ela está limitada por variando de -1 a 1 e variando de 0 até .

Passo 4

Agora que temos a região bem entendida, vamos passar para a integral dupla . Queremos expressar essa integral como uma integral iterada, ou seja, uma integral dentro de outra, em duas ordens diferentes: primeiro e depois .
Para isso, precisamos determinar os limites de integração para cada ordem.

Passo 5

Primeiro, vamos expressar a integral na ordem integral duplaR f(x, y) , dA = integralx=-1^1 ( integraly=0^raiz1 - x^2 f(x, y) , dy ) dx . Isso significa que para cada valor de , varia de 0 até . E varia de -1 a 1.
Então, a integral iterada fica:

Passo 6

Agora, vamos expressar a integral na ordem integral duplaR f(x, y) , dA = integraly=0^1 ( integralx=-raiz1 - y^2^raiz1 - y^2 f(x, y) , dx ) dy . Para isso, precisamos ver como varia para cada valor de .
Sabemos que pode ser reescrita como . Portanto, para um dado , varia de a . E varia de 0 a 1.
Assim, a integral iterada fica:

Resposta

A integral dupla integral-1^1 ( integral0^raiz1 - x^2 f(x, y) , dy ) dx pode ser expressa como:
integral0^1 ( integral-raiz1 - y^2^raiz1 - y^2 f(x, y) , dx ) dy
e também como:

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Esboce a região R delimitada pelos gráficos das equações dadas. Se f(x, y) é uma função contínua arbitrária, expresse integral duplaR f(x, y) d A como uma integral iterada com d x d y e com d y d x.
y=raizx, x=0, y=2
Calcule as integrais iteradas.
integral0^1 integral-y-1^y-1(x^2+y^2) d x d y
Calcular a equação da reta tangente e da reta normal ao gráfico de f no ponto p. Faça o gráfico mostrando as retas no Excel.
y = x^2 + 2x + 1, p = -1
  1. Verifique a aplicabilidade do Teorema da Função Implícita e calcule y' (P0) e y''(P0).
    (a) y^3 - x*y + x^2 - 3 = 0 ; P_0 = (2,1)
    (b) ln(xy) + xy^2 - 1 = 0 ; P0 = (1,1)
    © x ln x + y e^y = 0 ; P0 = (1, 0)
    (d) ln(xy) - 2xy + 2 = 0 ; P0 = (1,1).