- Verifique a aplicabilidade do Teorema da Função Implícita e calcule
e
.
(a)
(b)
©
(d)
.
(a)
(b)
©
(d)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no exercício que você enviou! A gente tem a seguinte equação implícita:
E o ponto de interesse é
. A nossa missão aqui é verificar se o Teorema da Função Implícita pode ser aplicado nesse caso e, se sim, calcular as derivadas primeira e segunda de
em relação a
no ponto
, ou seja,
e .
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o Teorema da Função Implícita. Esse teorema nos ajuda a determinar se podemos resolver uma equação que relaciona
e
para expressar
como uma função de
perto de um ponto específico. Para isso funcionar, precisamos que a derivada parcial da função em relação a
não seja zero no ponto de interesse.
Vamos definir nossa função
como:
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
:
Avaliar essa derivada no ponto
:
Como
, o teorema é aplicável nesse caso. Portanto, podemos seguir em frente e encontrar
e .
Passo 3
Agora, vamos encontrar a primeira derivada
. Pela regra do Teorema da Função Implícita, temos:
Primeiro, calculamos
:
Agora, avaliamos
no ponto
:
Já sabemos que
. Então, substituindo na fórmula de
:
Passo 4
Para encontrar a segunda derivada
, precisamos diferenciar
em relação a
. Vamos começar diferenciando ambos os lados da equação original implicitamente:
Já sabemos que:
Diferenciando
, temos:
Aplicando a regra do quociente:
onde:
Substituindo esses valores no ponto
:
Resposta
No ponto
, temos:
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no ponto p. Faça o gráfico mostrando as retas no Excel.
Esboce a região
delimitada pelos gráficos das equações dadas. Se
é uma função contínua arbitrária, expresse
como uma integral iterada com
e com
.
Esboce a região
delimitada pelos gráficos das equações dadas. Se
é uma função contínua arbitrária, expresse
como uma integral iterada com
e com
.
Expresse a integral dupla sobre a região
indicada, como uma integral iterada, e ache seu valor.
; na região triangular de vértices
.