1. Verifique a aplicabilidade do Teorema da Função Implícita e calcule y' (P0) e y''(P0).
    (a) y^3 - x*y + x^2 - 3 = 0 ; P_0 = (2,1)
    (b) ln(xy) + xy^2 - 1 = 0 ; P0 = (1,1)
    © x ln x + y e^y = 0 ; P0 = (1, 0)
    (d) ln(xy) - 2xy + 2 = 0 ; P0 = (1,1).

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no exercício que você enviou! A gente tem a seguinte equação implícita:
E o ponto de interesse é . A nossa missão aqui é verificar se o Teorema da Função Implícita pode ser aplicado nesse caso e, se sim, calcular as derivadas primeira e segunda de em relação a no ponto , ou seja, e .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o Teorema da Função Implícita. Esse teorema nos ajuda a determinar se podemos resolver uma equação que relaciona e para expressar como uma função de perto de um ponto específico. Para isso funcionar, precisamos que a derivada parcial da função em relação a não seja zero no ponto de interesse.
Vamos definir nossa função como:
Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a :
Avaliar essa derivada no ponto :
Como , o teorema é aplicável nesse caso. Portanto, podemos seguir em frente e encontrar e .

Passo 3

Agora, vamos encontrar a primeira derivada . Pela regra do Teorema da Função Implícita, temos:
Primeiro, calculamos :
Agora, avaliamos no ponto :
Já sabemos que . Então, substituindo na fórmula de :

Passo 4

Para encontrar a segunda derivada , precisamos diferenciar em relação a . Vamos começar diferenciando ambos os lados da equação original implicitamente:
Já sabemos que:
Diferenciando , temos:
Aplicando a regra do quociente:
onde:
Substituindo esses valores no ponto :

Resposta

No ponto , temos:

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