Calcular, se existir, os limites:
lim t 2(t, t^2-4t^2-2 t, 1t)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o limite de um vetor quando se aproxima de 2. A matéria envolvida aqui são os limites, especificamente limites de funções componentes em vetores. Para resolver, vamos calcular o limite de cada componente do vetor individualmente.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o limite da primeira componente, que é simplesmente limt 2 t .
limt 2 t = 2
Como a função é contínua, substituímos por 2 diretamente:

Passo 3

Agora, vamos para a segunda componente: 2^2 - 42^2 - 2 times 2 = 4 - 44 - 4 = 00 .
Primeiro, tentamos substituir t^2 - 4 = (t - 2)(t + 2) :
t^2 - 2t = t(t - 2)
Esse é um caso indeterminado, então precisamos simplificar a expressão. Vamos fatorar o numerador e o denominador.
Numerador:
(t - 2)(t + 2)t(t - 2) = t + 2t, t neq 2
Denominador:
limt 2 t + 2t = 2 + 22 = 42 = 2
Agora, a expressão fica:
Agora, podemos calcular o limite substituindo :

Passo 4

Por último, vamos calcular o limite da terceira componente, que é limt 2 1t .
limt 2 1t = 12
Substituindo :

Resposta

lim t 2(t, t^2-4t^2-2 t, 1t) = (2,, 2,, 12)

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