Calcular, se existir, os limites:
lim t 0(sin (t+pi), 3 t^3+tt, 5 sin tt)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o limite de um vetor quando se aproxima de 0. A matéria envolvida aqui é Cálculo, mais especificamente o estudo de limites. Para resolver, vamos analisar cada componente do vetor separadamente usando propriedades de limites e algumas fórmulas que você talvez já tenha visto.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o primeiro componente do vetor: limt 0 sin(t + pi) = sin(0 + pi) = sin(pi) = 0 . Sabemos que o seno é uma função contínua, o que significa que o limite dela é simplesmente o valor da função no ponto. Então, podemos substituir por 0:

Passo 3

Agora, vamos para o segundo componente: 3t^3 + tt = 3t^3t + tt = 3t^2 + 1 . Aqui, a gente pode simplificar a expressão dividindo cada termo do numerador pelo denominador:
limt 0 (3t^2 + 1) = 3(0)^2 + 1 = 0 + 1 = 1
Agora, calculamos o limite quando se aproxima de 0:

Passo 4

Por último, vamos para o terceiro componente: limt 0 sin tt = 1 . Esse é um limite clássico que aparece muito em Cálculo, e sabemos que:
limt 0 5 sin tt = 5 times 1 = 5
Multiplicando por 5, temos:

Resposta

Então, juntando tudo, o limite do vetor é:
limt 0(sin (t+pi), 3 t^3+tt, 5 sin tt) = (0, 1, 5)

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