Calcular, se existir, os limites:
lim t 1(raizt, ln tt^2-1, 2 t^2)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos que calcular o limite quando se aproxima de 1 para a função vetorial . Isso envolve entender como cada componente dessa função se comporta próximo de . Vamos precisar de conhecimentos sobre cálculo de limites, propriedades de funções logarítmicas, exponenciais e de raízes.

Passo 2

Vamos começar calculando o limite do primeiro componente, que é limt to 1 raizt = raiz1 = 1 , quando se aproxima de 1. A raiz quadrada é uma função contínua, o que significa que podemos simplesmente substituir por 1:

Passo 3

Agora, vamos para o segundo componente: ddt (ln t) = 1t . Aqui, se substituirmos ddt (t^2 - 1) = 2t diretamente, teremos limt to 1 ln tt^2-1 = limt to 1 1t2t = limt to 1 12t^2 = 12 cdot 1^2 = 12 , que é uma forma indeterminada. Para resolver isso, podemos usar a regra de L’Hôpital, que nos permite derivar o numerador e o denominador separadamente.
Primeiro, derivamos o numerador :
E o denominador :
Aplicando a regra de L’Hôpital:

Passo 4

Por fim, vamos calcular o limite do terceiro componente, que é limt to 1 2t^2 = 2 cdot 1^2 = 2 , quando se aproxima de 1. Essa é uma função polinomial simples e contínua, então basta substituir por 1:

Resposta

Portanto, o limite da função vetorial quando (1, 12, 2) se aproxima de 1 é:

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