Determinar o maior conjunto onde f é contínua.
f(t) = { (t, t^2, sen(t)/t), se t ≠ 0; (0, 0, 0), se t = 0 }

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para descobrir o maior conjunto onde a função é contínua. A função está definida por partes:
Vamos usar conceitos de continuidade de funções em para resolver isso. Precisamos verificar onde cada parte da função é contínua e, especialmente, se a função se comporta bem no ponto onde a definição muda, que é .

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a continuidade da função para . Nesse caso, .
Cada componente dessa função é uma função conhecida:
  1. é uma função linear e contínua em todo .
  2. é um polinômio e também contínuo em todo .
  3. é contínua para todo porque o seno e são contínuos onde , e a divisão de funções contínuas onde o denominador não é zero também é contínua.
Portanto, para todos os diferentes de zero, é contínua.

Passo 3

Agora, vamos verificar o ponto . Aqui, a função está definida como . Para que seja contínua em , o limite de quando se aproxima de 0 deve ser igual a .
Vamos calcular o limite de cada componente:
  1. (Sabemos que pela regra de L’Hôpital ou pelo desenvolvimento em série de Taylor)
Então, o limite de quando aproxima-se de 0 é:
Esse limite é diferente de . Como os limites não coincidem, a função não é contínua em .

Resposta

O maior conjunto onde é contínua é .

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