Determinar o maior conjunto onde
é contínua.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede para descobrir o maior conjunto onde a função
é contínua. A função está definida por partes:
Vamos usar conceitos de continuidade de funções em
para resolver isso. Precisamos verificar onde cada parte da função é contínua e, especialmente, se a função se comporta bem no ponto onde a definição muda, que é
.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a continuidade da função para
. Nesse caso,
.
Cada componente dessa função é uma função conhecida:
-
é uma função linear e contínua em todo . -
é um polinômio e também contínuo em todo . -
é contínua para todo porque o seno e são contínuos onde , e a divisão de funções contínuas onde o denominador não é zero também é contínua.
Portanto, para todos os
diferentes de zero,
é contínua.
Passo 3
Agora, vamos verificar o ponto
. Aqui, a função está definida como
. Para que
seja contínua em
, o limite de
quando
se aproxima de 0 deve ser igual a
.
Vamos calcular o limite de cada componente:
-
-
-
(Sabemos que pela regra de L’Hôpital ou pelo desenvolvimento em série de Taylor)
Então, o limite de
quando
aproxima-se de 0 é:
Esse limite é diferente de
. Como os limites não coincidem, a função
não é contínua em
.
Resposta
O maior conjunto onde
é contínua é
.
Exercícios relacionados
Dizimas periódicas
Expresse cada um dos números nos Exercícios 19-26 como a razão de dois inteiros.
Calcular, se existir, os limites:
Resolver as seguintes equações: