Determinar o maior conjunto onde é contínua.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar o maior conjunto onde a função é contínua. Para isso, vamos precisar entender sobre continuidade de funções trigonométricas e identificar onde cada componente da função está definida e é contínua.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar cada componente da função :
  1. : A função seno é contínua para todos os números reais. Isso significa que não tem nenhum ponto onde ela “quebre” ou não esteja definida.
  2. : Assim como o seno, o cosseno é contínuo em todo o domínio dos números reais. Não há interrupções na sua definição.
  3. : A tangente é igual a . Aqui, precisamos prestar atenção, porque a tangente pode ter problemas onde o denominador é zero, ou seja, onde .

Passo 3

Agora, vamos identificar onde , já que nesses pontos a função tangente não está definida (divisão por zero é indefinida). Sabemos que:
Isso significa que em todos os ângulos que são múltiplos ímpares de , a tangente não está definida, e portanto, não será contínua nesses pontos.

Passo 4

Como as funções seno e cosseno estão bem comportadas (contínuas em todo lugar), o único “problema” para a continuidade de vem da tangente. Assim, para que seja contínua, precisamos excluir todos os valores de onde .

Passo 5

Portanto, o maior conjunto onde é contínua é todo o conjunto dos números reais, exceto aqueles pontos onde , onde é qualquer inteiro. Em notação matemática, isso fica assim:

Resposta

O maior conjunto onde é contínua é:

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