Calcular, se existir, os limites:
lim t 0(e^t, sin tt, e^-t)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite que envolve vetores. O enunciado pede para calcular o limite quando tende a 0 da função vetorial . A matéria que vamos usar aqui é o cálculo de limites de funções vetoriais, onde calculamos o limite de cada componente individualmente. Vamos precisar saber como calcular limites de funções exponenciais e trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o limite da primeira componente limt to 0 e^t = e^0 = 1 quando tende a 0. Sabemos que a função exponencial é contínua em todos os pontos, então:

Passo 3

Agora, vamos para a segunda componente limt to 0 sin tt = 1 . Esse é um limite clássico que aparece bastante em cálculo. Sabemos que:
Isso porque, geometricamente, o seno de um ângulo pequeno é aproximadamente igual ao próprio ângulo quando medido em radianos.

Passo 4

Por último, vamos calcular o limite da terceira componente limt to 0 e^-t = e^0 = 1 quando tende a 0. Novamente, usando a continuidade da função exponencial:

Resposta

Portanto, o limite da função vetorial quando (1, 1, 1) tende a 0 é:

Exercícios relacionados