Demonstrar as seguintes identidades:
cos^4(x) + sen^4(x) + 2(sen(x) cos(x))^2 = 1

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para demonstrar que . Estamos trabalhando com identidades trigonométricas, que são igualdades envolvendo funções trigonométricas que são válidas para todos os valores das variáveis. Para resolver isso, vamos precisar usar algumas identidades básicas, como a identidade pitagórica e fórmulas de soma de potências.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para os dois primeiros termos da expressão: e . Podemos reescrevê-los como e . Então, temos:

Passo 3

Agora, vamos usar uma identidade algébrica que nos ajuda a simplificar a soma dos quadrados:
Aplicando isso aos nossos termos, onde e , temos:

Passo 4

Sabemos da identidade pitagórica que:
Substituindo isso na expressão que obtivemos:

Passo 5

Agora, vamos voltar à expressão original completa:
Substituímos por :

Passo 6

Observe que . Então, substituindo:
Os termos e se cancelam.

Resposta

Portanto, demonstramos que .

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