Mostre que
se
. Determine
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrar que, se definirmos a função
, então
. Além disso, precisamos encontrar a função inversa
. Para isso, vamos usar conceitos de funções e suas inversas, além de operações com frações algébricas. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos calcular
. Isso significa que vamos aplicar a função
dentro dela mesma. Então, substituímos
na fórmula de
por
.
Passo 3
Agora, vamos simplificar a expressão que obtivemos:
Simplificando o denominador:
Então, temos:
Passo 4
Com isso, mostramos que
, ou seja, aplicar a função duas vezes nos leva de volta ao valor inicial de
.
Agora, vamos encontrar a função inversa
. A função inversa basicamente “desfaz” o que a função original faz. Para encontrar
, seguimos os seguintes passos:
- Troque
por :
- Troque
e :
- Resolva para
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Distribuindo o
:
Rearranjando os termos para isolar
:
Fatorando
:
Finalmente, dividindo por
:
Resposta
A função inversa é
. Além disso, mostramos que
.
Exercícios relacionados
Determine uma função vetorial que represente:
Sejam
e
. Encontre:
.
Calcular, se existir, os limites:
Calcular, se existir, os limites: