Mostre que se . Determine .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrar que, se definirmos a função , então . Além disso, precisamos encontrar a função inversa . Para isso, vamos usar conceitos de funções e suas inversas, além de operações com frações algébricas. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos calcular . Isso significa que vamos aplicar a função dentro dela mesma. Então, substituímos na fórmula de por .

Passo 3

Agora, vamos simplificar a expressão que obtivemos:
Simplificando o denominador:
Então, temos:

Passo 4

Com isso, mostramos que , ou seja, aplicar a função duas vezes nos leva de volta ao valor inicial de .
Agora, vamos encontrar a função inversa . A função inversa basicamente “desfaz” o que a função original faz. Para encontrar , seguimos os seguintes passos:
  1. Troque por :
  1. Troque e :
  1. Resolva para :
Multiplicando ambos os lados por :
Distribuindo o :
Rearranjando os termos para isolar :
Fatorando :
Finalmente, dividindo por :

Resposta

A função inversa é . Além disso, mostramos que .

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Sejam e . Encontre: .
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