Calcular, se existir, os limites:
lim t 0(e^-t, e^tt, e^t-1t)

Passo 1

Beleza! Vamos resolver o limite . Aqui, estamos trabalhando com limites de funções exponenciais à medida que se aproxima de 0. Precisaremos lembrar como calcular limites básicos e entender um pouquinho sobre funções exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o primeiro limite: limt to 0 e^-t = e^0 = 1 . A função é contínua em todos os pontos, inclusive em , então podemos simplesmente substituir por 0:

Passo 3

Agora, vamos para o segundo limite: limt to 0 e^tt = limt to 0 e^t1 = e^0 = 1 . Se substituirmos , teremos , que é uma forma indeterminada de infinito. Para resolver isso, podemos usar a regra de L’Hôpital, que nos permite derivar o numerador e o denominador:

Passo 4

Finalmente, vamos calcular o terceiro limite: limt to 0 e^t - 1t = limt to 0 e^t1 = e^0 = 1 . Se substituirmos , teremos , que é outra forma indeterminada. Novamente, aplicamos a regra de L’Hôpital:

Resposta

Portanto, os limites são:
lim t 0(e^-t, e^tt, e^t-1t) = (1, infty, 1)
Observação: No segundo limite, tende ao infinito quando se aproxima de 0.

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