Determine uma função vetorial que represente:
a curva obtida pela interseção do cilindro e a hipérbole .

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente precisa encontrar uma função vetorial que descreva a curva onde o cilindro intersecta a hipérbole . Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica e parametrização de curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar o cilindro . Um jeito fácil de fazer isso é usando um ângulo . Sabemos que qualquer ponto no cilindro pode ser escrito como:
Isso porque , que é exatamente a equação do cilindro.

Passo 3

Agora que temos e em termos de , vamos usar a equação da hipérbole para encontrar . Substituindo e :
Sabemos que , que é uma identidade trigonométrica.

Passo 4

Então, a gente já tem todas as coordenadas em termos de :
Isso dá uma forma paramétrica completa para a curva de interseção.

Resposta

A função vetorial que representa a curva de interseção é:
onde varia de a .

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Determine o domínio, a imagem e esboce o gráfico de :
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Calcular, se existir, os limites:
Resolver as equações abaixo