Determine uma função vetorial que represente:
a curva obtida pela interseção do cilindro
e a hipérbole
.
a curva obtida pela interseção do cilindro
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente precisa encontrar uma função vetorial que descreva a curva onde o cilindro
intersecta a hipérbole
. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica e parametrização de curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar o cilindro
. Um jeito fácil de fazer isso é usando um ângulo
. Sabemos que qualquer ponto no cilindro pode ser escrito como:
Isso porque
, que é exatamente a equação do cilindro.
Passo 3
Agora que temos
e
em termos de
, vamos usar a equação da hipérbole
para encontrar
. Substituindo
e
:
Sabemos que
, que é uma identidade trigonométrica.
Passo 4
Então, a gente já tem todas as coordenadas em termos de
:
Isso dá uma forma paramétrica completa para a curva de interseção.
Resposta
A função vetorial que representa a curva de interseção é:
onde
varia de
a
.
Exercícios relacionados
Determine o domínio, a imagem e esboce o gráfico de
:
Determine o domínio, a imagem e esboce o gráfico de
:
Calcular, se existir, os limites:
Resolver as equações abaixo