Determine o domínio, a imagem e esboce o gráfico de
:
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para determinar o domínio, a imagem e esboçar o gráfico da função
. Isso envolve entender as propriedades das funções de valor absoluto e como elas se combinam para formar o gráfico final. Vamos precisar conhecer como funcionam as funções
e suas transformações.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida.
Como a função
envolve apenas operações de valor absoluto e soma, que estão definidas para todos os números reais, podemos concluir que:
Passo 3
Agora, vamos determinar a imagem (ou conjunto imagem) da função
. A imagem é o conjunto de todos os possíveis valores que
pode assumir.
Para isso, vamos analisar a função em diferentes intervalos de
, considerando os pontos onde as expressões dentro dos valores absolutos mudam de sinal, ou seja, em
e
.
-
Para
: -
Para
: -
Para
:
Portanto, a função assume valores entre
e
, incluindo esses extremos.
Passo 4
Vamos esboçar o gráfico da função
com base nas análises anteriores.
-
Para
:
A função é constante e igual a. -
Para
:
A função é linear, com inclinação positiva, variando dea . -
Para
:
A função é constante e igual a.
O gráfico resultante será uma linha horizontal em
para
, uma reta subindo de
a
entre
e
, e outra linha horizontal em
para
.
Resposta
- Domínio:
(todos os números reais) - Imagem:
- Gráfico: Uma linha horizontal em
para , uma reta inclinada subindo de a entre e , e outra linha horizontal em para .
Exercícios relacionados
Determine o domínio, a imagem e esboce o gráfico de
:
Resolver as seguintes equações:
Determine uma função vetorial que represente:
a curva obtida pela interseção do cilindro e a hipérbole
.
a curva obtida pela interseção do cilindro
Calcular, se existir, os limites: