Determine o domínio, a imagem e esboce o gráfico de :

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar o domínio, a imagem e esboçar o gráfico da função . Isso envolve entender as propriedades das funções de valor absoluto e como elas se combinam para formar o gráfico final. Vamos precisar conhecer como funcionam as funções e suas transformações.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida.
Como a função envolve apenas operações de valor absoluto e soma, que estão definidas para todos os números reais, podemos concluir que:
í

Passo 3

Agora, vamos determinar a imagem (ou conjunto imagem) da função . A imagem é o conjunto de todos os possíveis valores que pode assumir.
Para isso, vamos analisar a função em diferentes intervalos de , considerando os pontos onde as expressões dentro dos valores absolutos mudam de sinal, ou seja, em e .
  1. Para :
  2. Para :
  3. Para :
Portanto, a função assume valores entre e , incluindo esses extremos.

Passo 4

Vamos esboçar o gráfico da função com base nas análises anteriores.
  1. Para :
    A função é constante e igual a .
  2. Para :
    A função é linear, com inclinação positiva, variando de a .
  3. Para :
    A função é constante e igual a .
O gráfico resultante será uma linha horizontal em para , uma reta subindo de a entre e , e outra linha horizontal em para .

Resposta

  • Domínio: (todos os números reais)
  • Imagem:
  • Gráfico: Uma linha horizontal em para , uma reta inclinada subindo de a entre e , e outra linha horizontal em para .

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Determine o domínio, a imagem e esboce o gráfico de :
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Determine uma função vetorial que represente:
a curva obtida pela interseção do cilindro e a hipérbole .
Calcular, se existir, os limites: