Calcular os extremos das funções, quando estes existirem.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar os extremos da função
. Isso quer dizer que queremos descobrir onde a função tem valores máximos ou mínimos. Para isso, vamos usar o cálculo de derivadas parciais, que é uma ferramenta da matemática para analisar como a função muda em relação a cada variável individualmente.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais da função em relação a
e
. As derivadas parciais nos ajudam a encontrar os pontos críticos, onde a função pode ter extremos.
A derivada parcial em relação a
é:
Simplificando:
A derivada parcial em relação a
é:
Simplificando:
Passo 3
Agora, para encontrar os pontos críticos, igualamos as derivadas parciais a zero:
Vamos resolver esse sistema de equações.
Passo 4
Da equação (1):
Isso nos dá duas possibilidades:
-
-
→
Vamos analisar cada caso separadamente.
Passo 5
Caso 1:
Substituindo na equação (2):
Então:
Isso nos dá dois pontos críticos:
Passo 6
Caso 2:
Substituindo na equação (2):
Então:
Se
, então
, dando o ponto crítico
.
Se
, então
, dando o ponto crítico
.
Passo 7
Então, os extremos da função
ocorrem nos seguintes pontos:
Resposta
Os extremos da função
ocorrem nos pontos
,
,
e
.
Exercícios relacionados
Use a definição de diferenciabilidade para obter o gradiente das seguintes funções.
.
Calcular os extremos das funções, quando estes existirem.
Considere o problema de otimização dado por:
Utilize multiplicadores de Lagrange para encontrar os pontos estacionários e determine os valores de
e
que maximizam
sujeito à restrição
.
Dada a função
no intervalo fechado
, determine os extremos absolutos de
nesse intervalo.