Considere o problema de otimização dado por: Maximizar f(x, y) & =x^2+y^2 sujeito a g(x, y) & =x+y-1=0 Utilize multiplicadores de Lagrange para encontrar os pontos estacionários e determine os valores de x e y que maximizam f(x, y) sujeito à restrição g(x, y).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de otimização juntos! A gente quer encontrar os valores de e que fazem a função ser o maior possível, mas tem uma condição: . Para isso, vamos usar uma técnica chamada Multiplicadores de Lagrange. Essencialmente, essa técnica nos ajuda a encontrar os pontos onde a função que a gente quer otimizar toca aquela linha ou curva de restrição, que nesse caso é .

Passo 2

Primeiro, vamos montar a função de Lagrange. Ela combina a nossa função objetivo L(x, y, lambda) = f(x, y) - lambda cdot g(x, y) = x^2 + y^2 - lambda (x + y - 1) com a restrição , usando um multiplicador que a gente chama de (lambda). A fórmula fica assim:

Passo 3

Agora, a gente precisa achar os pontos onde as derivadas parciais da função de Lagrange em relação a partial Lpartial x = 2x - lambda = 0 Rightarrow 2x = lambda Rightarrow lambda = 2x , e são iguais a zero. Isso nos dá um sistema de equações que vamos resolver.
Primeiro, derivando em relação a :

Passo 4

Derivando agora em relação a partial Lpartial y = 2y - lambda = 0 Rightarrow 2y = lambda Rightarrow lambda = 2y :

Passo 5

E derivando em relação a partial Lpartial lambda = -(x + y - 1) = 0 Rightarrow x + y = 1 :

Passo 6

Agora, vamos juntar as equações que encontramos:
lambda = 2x e lambda = 2y
Como ambas são iguais a x = y , podemos igualar , o que simplifica para:

Passo 7

Sabendo que x + x = 1 Rightarrow 2x = 1 Rightarrow x = 12 e que , vamos substituir por na equação da restrição:

Passo 8

Como y = 12 , então:

Resposta

Os valores que maximizam sujeitos à restrição são e .

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