Dada a função f(x) = x^3 - 3x + 1 no intervalo fechado [-2, 2], determine os extremos absolutos de f(x) nesse intervalo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os extremos absolutos da função no intervalo fechado de a . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas, para encontrar pontos onde a função atinge seus valores máximos e mínimos dentro desse intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função . A derivada nos ajuda a identificar onde a função tem inclinações que mudam, ou seja, onde podem existir máximos ou mínimos locais. A derivada de em relação a é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos, ou seja, os valores de onde a derivada é zero ou não existe. Nesse caso, a derivada está sempre definida, então só precisamos resolver:
Então, os pontos críticos são e .

Passo 4

Com os pontos críticos em mãos, vamos avaliar a função nesses pontos e também nas extremidades do intervalo, que são e .

Passo 5

Agora, vamos comparar os valores obtidos:
O maior valor é e ocorre em e . O menor valor é e ocorre em e .

Resposta

Os extremos absolutos da função no intervalo são:
  • Máximo absoluto: e
  • Mínimo absoluto: e

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