Dada a função
no intervalo fechado
, determine os extremos absolutos de
nesse intervalo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os extremos absolutos da função
no intervalo fechado de
a
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas, para encontrar pontos onde a função atinge seus valores máximos e mínimos dentro desse intervalo.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função
. A derivada nos ajuda a identificar onde a função tem inclinações que mudam, ou seja, onde podem existir máximos ou mínimos locais. A derivada de
em relação a
é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos, ou seja, os valores de
onde a derivada é zero ou não existe. Nesse caso, a derivada
está sempre definida, então só precisamos resolver:
Então, os pontos críticos são
e
.
Passo 4
Com os pontos críticos em mãos, vamos avaliar a função
nesses pontos e também nas extremidades do intervalo, que são
e
.
Passo 5
Agora, vamos comparar os valores obtidos:
O maior valor é
e ocorre em
e
. O menor valor é
e ocorre em
e
.
Resposta
Os extremos absolutos da função
no intervalo
são:
- Máximo absoluto:
e - Mínimo absoluto:
e
Exercícios relacionados
Considere o problema de otimização dado por:
Utilize multiplicadores de Lagrange para encontrar os pontos estacionários e determine os valores de
e
que maximizam
sujeito à restrição
.
Calcular os extremos das funções, quando estes existirem.
Encontre a equação do plano tangente às seguintes superfícies.
no ponto
Calcule as integrais iteradas.