Calcular os extremos das funções, quando estes existirem.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular os extremos da função
. Isso envolve encontrar os pontos onde a função pode ter máximos ou mínimos. Para isso, vamos usar o cálculo de derivadas parciais e o teste da segunda derivada.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a
e
. As derivadas parciais nos ajudam a entender como a função muda quando variamos uma variável mantendo a outra constante.
A derivada parcial de
em relação a
é:
E a derivada parcial de
em relação a
é:
Passo 3
Agora, para encontrar os pontos críticos (onde a função pode ter extremos), igualamos essas derivadas a zero:
Vamos resolver esse sistema de equações.
Passo 4
Da equação (1), temos que
. Vamos substituir esse valor de
na equação (2):
Agora, substituindo
na equação
:
Então, o único ponto crítico é
.
Passo 5
Agora que temos o ponto crítico, vamos determinar se ele é um máximo, mínimo ou ponto de sela. Para isso, usamos o teste da segunda derivada.
Calculamos as segundas derivadas:
Calculamos o discriminante
:
Como
e
, isso indica que o ponto crítico é um mínimo local.
Resposta
A função
possui um mínimo absoluto no ponto
, onde
.
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é harmônico em cada sólido que não contém a origem, isto é,
satisfaz a equação
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Use a definição de diferenciabilidade para obter o gradiente das seguintes funções.
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Calcular os extremos das funções, quando estes existirem.