Use a definição de diferenciabilidade para obter o gradiente das seguintes funções. f(x, y, z) = x^2 * y + y^2 * z + z^2 * x.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos a função e precisamos encontrar o gradiente dessa função usando a definição de diferenciabilidade. O gradiente é um vetor que aponta na direção de maior crescimento da função e é composto pelas derivadas parciais em relação a cada variável. Para resolver isso, vamos calcular as derivadas parciais de em relação a , e .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , que é . Para isso, tratamos e como constantes e diferenciamos em relação a :

Passo 3

Em seguida, calculamos a derivada parcial de em relação a , que é . Aqui, e são consideradas constantes:

Passo 4

Agora, calculamos a derivada parcial de em relação a , que é . Neste caso, e são constantes:

Resposta

O gradiente da função é dado por:

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Calcular os extremos das funções, quando estes existirem. z = x^2 - x*y + y^2
Mostre que o campo escalar f(x, y, z)=1raizx^2+y^2+z^2 é harmônico em cada sólido que não contém a origem, isto é, f(x, y, z) satisfaz a equação partial^2 fpartial x^2+partial^2 fpartial y^2+partial^2 fpartial z^2=0 para todo (x, y, z) neq(0,0,0). A menos de uma constante, f é uma função potêncial para o campo gravitacional.
Calcular os extremos das funções, quando estes existirem. z = x * y * (x + y - 1)
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