Use a definição de diferenciabilidade para obter o gradiente das seguintes funções.
.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos a função
e precisamos encontrar o gradiente dessa função usando a definição de diferenciabilidade. O gradiente é um vetor que aponta na direção de maior crescimento da função e é composto pelas derivadas parciais em relação a cada variável. Para resolver isso, vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
,
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, que é
. Para isso, tratamos
e
como constantes e diferenciamos em relação a
:
Passo 3
Em seguida, calculamos a derivada parcial de
em relação a
, que é
. Aqui,
e
são consideradas constantes:
Passo 4
Agora, calculamos a derivada parcial de
em relação a
, que é
. Neste caso,
e
são constantes:
Resposta
O gradiente da função
é dado por:
Exercícios relacionados
Calcular os extremos das funções, quando estes existirem.
Mostre que o campo escalar
é harmônico em cada sólido que não contém a origem, isto é,
satisfaz a equação
para todo
. A menos de uma constante, f é uma função potêncial para o campo gravitacional.
Calcular os extremos das funções, quando estes existirem.
Considere o problema de otimização dado por:
Utilize multiplicadores de Lagrange para encontrar os pontos estacionários e determine os valores de
e
que maximizam
sujeito à restrição
.