Calcular f'(x) onde: f(x) = sen(1/(arctg(2 x)^3)) arccos(x^2)

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular a derivada de . Para isso, vamos utilizar conhecimentos de cálculo diferencial, especificamente a regra do produto e a regra da cadeia. Precisaremos conhecer as derivadas das funções trigonométricas compostas e das funções inversas trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, identificamos que é o produto de duas funções:
onde:
Para derivar , usaremos a Regra do Produto, que diz que a derivada de um produto de duas funções é:

Passo 3

Vamos calcular . Para isso, usamos a Regra da Cadeia porque é uma função composta:
onde:
A derivada de em relação a é:
Agora, encontramos :
Usando a Regra da Cadeia novamente:
Sabemos que:
Então:
Portanto, a derivada de é:

Passo 4

Agora, vamos calcular . Novamente, usamos a Regra da Cadeia porque é uma função composta:
onde:
A derivada de em relação a é:
Calculando :
Portanto, a derivada de é:

Passo 5

Agora que temos e , aplicamos a Regra do Produto:
Substituindo as expressões encontradas:

Resposta

A derivada de é:

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