Calcular d/y d/x onde: y = ln^4(raiz((x^2 - 1)(x^2 + 1)))

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a derivada de em relação a , onde:
Aqui, estamos trabalhando com derivadas, especificamente aplicando regras de derivação em funções compostas. Para resolver, vamos precisar usar a regra da cadeia, que é essencial quando temos funções dentro de outras funções.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar um pouco a expressão dentro do logaritmo para facilitar a derivação. Observe que:
Então, podemos reescrever como:

Passo 3

Vamos simplificar a raiz quadrada:
Portanto, a expressão de fica:

Passo 4

Agora, vamos utilizar a propriedade dos logaritmos que permite trazer o expoente para multiplicar:
Então, substituindo de volta em :

Passo 5

Vamos entender que temos uma função composta aqui: uma potência de 4 envolvendo o logaritmo de . Para derivar em relação a , usaremos a regra da cadeia, que nos ajuda a derivar funções compostas passo a passo.

Passo 6

Aplicando a regra da cadeia, a derivada de será:
Aqui, derivamos cada parte:
  1. A derivada de em relação à expressão interna.
  2. A derivada do logaritmo que é .

Passo 7

Simplificando os coeficientes:
Multiplicando os constantes:

Resposta

A derivada de em relação a é:

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