Calcular
onde:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a derivada de
em relação a
, onde:
Aqui, estamos trabalhando com derivadas, especificamente aplicando regras de derivação em funções compostas. Para resolver, vamos precisar usar a regra da cadeia, que é essencial quando temos funções dentro de outras funções.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar um pouco a expressão dentro do logaritmo para facilitar a derivação. Observe que:
Então, podemos reescrever
como:
Passo 3
Vamos simplificar a raiz quadrada:
Portanto, a expressão de
fica:
Passo 4
Agora, vamos utilizar a propriedade dos logaritmos que permite trazer o expoente para multiplicar:
Então, substituindo de volta em
:
Passo 5
Vamos entender que temos uma função composta aqui: uma potência de 4 envolvendo o logaritmo de
. Para derivar
em relação a
, usaremos a regra da cadeia, que nos ajuda a derivar funções compostas passo a passo.
Passo 6
Aplicando a regra da cadeia, a derivada de
será:
Aqui, derivamos cada parte:
- A derivada de
em relação à expressão interna. - A derivada do logaritmo
que é .
Passo 7
Simplificando os coeficientes:
Multiplicando os constantes:
Resposta
A derivada de
em relação a
é:
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, no ponto
.
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