d) e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma função e suas derivadas primeira e segunda. O enunciado nos dá:
  • A primeira derivada:
  • A segunda derivada:
Vamos usar conceitos de cálculo, especificamente de derivação e integração, para encontrar a função original .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a primeira derivada . Ela nos indica a taxa de variação de em relação a . Para encontrar , precisamos integrar .

Passo 3

Vamos integrar em relação a . A integração é o processo inverso da derivação.

Passo 4

Observamos que a integral de pode ser resolvida usando uma identidade trigonométrica. Sabemos que:
Portanto,
Então, a integral fica:

Passo 5

Agora, vamos integrar :
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Para confirmar se a segunda derivada está correta, vamos derivar novamente:
Primeira derivada já é .
Segunda derivada:
Isso confirma que nossa integração está correta.

Resposta

A função original é:
Onde é uma constante real.

Exercícios relacionados

f) .
d) .
Determine o ponto da curva mais proximo do ponto .
Calcular tal que .