d)
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma função
e suas derivadas primeira e segunda. O enunciado nos dá:
- A primeira derivada:
- A segunda derivada:
Vamos usar conceitos de cálculo, especificamente de derivação e integração, para encontrar a função original
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a primeira derivada
. Ela nos indica a taxa de variação de
em relação a
. Para encontrar
, precisamos integrar
.
Passo 3
Vamos integrar
em relação a
. A integração é o processo inverso da derivação.
Passo 4
Observamos que a integral de
pode ser resolvida usando uma identidade trigonométrica. Sabemos que:
Portanto,
Então, a integral fica:
Passo 5
Agora, vamos integrar
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Para confirmar se a segunda derivada
está correta, vamos derivar
novamente:
Primeira derivada já é
.
Segunda derivada:
Isso confirma que nossa integração está correta.
Resposta
A função original é:
Onde
é uma constante real.
Exercícios relacionados
f)
.
d)
.
Determine o ponto da curva
mais proximo do ponto
.
Calcular
tal que
.